利用导数研究不等式恒成立及相关问题

第5讲利用导数研究不等式恒成立及相关问题,考向分析,核心整合,热点精讲,阅卷评析,考向分析,考情纵览,真题导航,(2)证明:f(x)1.,2.(2014新课标全国卷,理21)已知函数f(x)=ex-e-x-2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x0时,g(x)0,求b的最大值;,解:(1)f(x)=ex+e-x-20,等号仅当x=0时成立.所以f(x)在(-,+)上单调递增.,3.(2013新课标全国卷,理21)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;,(2)当m2时,证明f(x)0.,备考指要,1.怎么考导数的综合应用是高考命题的重点与热点,每年高考都会考查这一知识点,具有一定的难度与灵活性.从知识层面上看,一般考查导数在其他知识中的应用,突出导数的工具性,其中主要包括:(1)利用导数研究多项式函数、幂函数、分式函数、以e为底的对数和指数函数的性质及求参数等综合问题;(2)求最值,以实际问题中的最优化问题形式呈现;(3)把导数与函数、方程、不等式、数列等结合综合考查.从题目的结构层次上看,常以解答题的形式呈现,第一问一般以抽象导函数值、抽象函数值、切线方程、极值为背景求函数的解析式,或给定参数的值求函数单调区间问题,较为简单;第二问均为和不等式相联系,考查由不等式恒成立求参数的取值范围或参数的最值问题、证明不等式等综合问题,常以压轴题出现,具有一定的难度.,2.怎么办复习备考时要认真掌握导数与函数单调性、极值与最值的关系,强化导数的工具性的作用,要认真研究导数与不等式、方程、数列、解析几何的联系,加强导数应用的广泛意识,注重数学思想与方法的应用.,核心整合,1.利用导数求函数最值的几种情况(1)若连续函数f(x)在(a,b)内有唯一的极大值点x0,则f(x0)是函数f(x)在a,b上的,f(a),f(b)min是函数f(x)在a,b上的;若函数f(x)在(a,b)内有唯一的极小值点x0,则f(x0)是函数f(x)在a,b上的,f(a),f(b)max是函数f(x)在a,b上的.(2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则是函数f(x)在a,b上的最小值,是函数f(x)在a,b上的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则是函数f(x)在a,b上的最大值,是函数f(x)在a,b上的最小值.(3)若函数f(x)在a,b上有极值点x1,x2,xn(nN*,n2),则将f(x1),f(x2),f(xn)与f(a),f(b)作比较,其中最大的一个是函数f(x)在a,b上的,最小的一个是函数f(x)在a,b上的.,最大值,最小值,最小值,最大值,f(a),f(b),f(a),f(b),最大值,最小值,2.不等式的恒成立与能成立问题(1)f(x)g(x)对一切xI恒成立I是f(x)g(x)的解集的子集f(x)-g(x)min0(xI).(2)f(x)g(x)对xI能成立I与f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x)-g(x)max0(xI).(3)对x1,x2D使得f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min.(4)对x1D1,x2D2使得f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min,f(x)定义域为D1,g(x)定义域为D2.3.证明不等式问题不等式的证明可转化为利用导数研究函数的单调性、极值和最值,再由单调性或最值来证明不等式,其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.,温馨提示在解决导数的综合问题时,应注意:(1)树立定义域优先的原则;(2)熟练掌握基本初等函数的求导公式和求导法则;(3)理解与不等式有关的导数综合问题化为函数最值问题的转化过程;(4)理解含参导数的综合问题中分类讨论思想的应用.(5)存在性问题与恒成立问题容易混淆,它们既有区别又有联系:若f(x)m恒成立,则f(x)maxm;若f(x)m恒成立,则f(x)minm.若f(x)m有解,则f(x)minm;若f(x)m有解,则f(x)maxm.,热点精讲,热点一,利用导数解决与函数有关的不等式恒成立问题,(2)若存在x1,x2e,e2,使f(x1)f(x2)+a成立,求实数a的取值范围.,方法技巧已知不等式f(x,)0(为实参数)对任意的xD恒成立,求参数的取值范围.利用导数解决这个问题的常用思想方法如下:(1)分离参数法:第一步,将原不等式f(x,)0(xD,为实参数)分离,使不等式的一边是参数,另一边不含参数,即化为f1()f2(x)或f1()f2(x)的形式;第二步,利用导数求出函数f2(x)(xD)的最大(小)值;第三步,解不等式f1()f2(x)max或f1()f2(x)min从而求出参数的取值范围.(2)函数思想法:第一步,将不等式转化为某含参数的函数的最值问题;第二步,利用导数求出该函数的极值(最值);第三步,构建不等式求解.,热点二,利用导数证明与函数有关的不等式,解:(1)由已知f(x)=lnx+1+2ax(x0),切点P(1,a),则切线方程:y-a=(2a+1)(x-1).把(0,-2)代入得a=1.,方法技巧1.利用导数证明与分式、指数式、对数式函数等相关的不等式的步骤:第一步,根据待证不等式的结构特征、定义域及不等式的性质,将待证不等式化为简单的不等式;第二步,构造函数(构造函数的常用方法:作差法、换元法);第三步,利用导数研究该函数的单调性或最值;第四步,根据单调性或最值得到待证不等式.小贴士:在证明过程中要利用一些常见的小结论:exx+1(当x=0时取等号),ln(x+1)x(当x=0时取等号).2.证明与区间端点有关的不等式的步骤:第一步,根据待证不等式的结构特点及已知条件,找出与区间端点有关的等量关系与不等关系;第二步,把等量关系与待证不等式的一边整理;第三步,利用不等关系得到待证不等式.,备选例题,【例1】(2015河南省八市教学质量监测)已知函数f(x)=alnx-x+1,g(x)=-x2+(a+1)x+1.(1)若对任意的x1,e,不等式f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围;,(2)若函数h(x)在其定义域内存在实数x0,使得h(x0+k)=h(x0)+h(k)(k0且为常数)成立,则称函数h(x)为保k阶函数,已知H(x)=f(x)-(a-1)x+a-1为保a阶函数,求实数a的取值范围.,阅卷评析,【答题启示】1.理解导数的几何意义,会求曲线y=f(x)