梁的变形课件

前面讨论了(梁）弯曲内力、弯曲应力，接下来讨论弯曲变形。,梁在外力作用下除了限制其应力，使其满足强度条件外，还必须限制它的变形，即必须具有足够的刚度，满足刚度条件。例如：楼板弯曲变形太大.则平顶下面的粉刷层就会剥落，不但影响美观，而且给人以不安全的感觉；高速铁路桥梁变形过大，就无法提高行车速度。,第10章梁的变形,101梁的挠曲线近似微分方程102用积分法求梁的变形103用叠加法求梁的变形104梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,第10章梁的变形,挠曲线指梁在弹性范围内的荷载作用下，梁的轴线将弯曲成一条连续光滑的曲线，该曲线称为挠曲线。,101梁的挠曲线近似微分方程,2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用表示，顺时针转动为正，反之为负。,度量梁变形的两个基本量,1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。v向下为正，反之为负。,挠曲线方程用来描述挠曲线的方程称为挠曲线方程。,2、挠曲线与挠曲线方程,挠曲线上任一点的纵坐标v（x）即为该点的横截面的挠度。,转角与挠度的关系,小变形,转角单位为弧度。,挠度单位为长度。,推导纯弯梁横截面正应力时，得到挠曲线的曲率公式：,忽略剪力对变形的影响，也可用上式计算横力弯曲梁的变形：,挠曲线近似微分方程,由数学知识可知：平面曲线的曲率公式为,在小变形下，略去高阶小量，再根据弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号相反，得,所以,其中的正负号与弯矩的正负号规则和v坐标的取向有关。,由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号相反，所以取负号，挠曲线的近似微分方程为：,由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。,挠曲线近似微分方程适用条件：线弹性范围内小变形平面弯曲。,挠曲线的近似微分方程为：,挠曲线近似微分方程适用条件：线弹性范围内小变形平面弯曲。,一、转角方程和挠曲线方程,1.微分方程的积分,10-2用积分法求梁的变形,对于等截面直梁，EI是常数，挠曲线近似微分方程：,积分一次,积分二次,讨论：（1）梁的弯矩M(x)可用一个函数描述时，积分常数仅2个，由支承约束条件确定；（2）梁上有突变荷载将梁分成几段，则各段梁的弯矩方程M(x)不同，因而各段的转角和挠度具有不同的函数形式，应分段积分，每一段的积分常数有2个，这些常数由支承约束条件和分段点连续光滑条件确定。,2.求积分常数,（1）支点位移条件：,（2)连续条件：,(3)光滑条件：,例：求等截面直梁AB的挠曲线方程、最大挠度及最大转角。,建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程并积分,应用位移边界条件求积分常数,解：,x,v,(1),(2),与书上不同，常数没有全合并,写出挠曲线方程和转角方程，并画出挠曲线,最大挠度及最大转角,例：简支梁受集中力F作用，求梁的转角方程和挠度方程，并求C截面的挠度和A截面的转角。已知梁的EI，l=a+b，ab。,解：1）由梁整体平衡分析得：,2）弯矩方程,AC段：,CB段：,HA,3）列挠曲线近似微分方程并积分,AC段：,CB段：,4）由边界条件确定积分常数,代入求解，得,位移边界条件,光滑连续条件,（1）,（2）,（3）,（4）,5）确定转角方程和挠度方程,AC段：,CB段：,（1）,（2）,（3）,（4）,6）确定C截面的挠度：,7）确定A截面转角：,将x1=a代入v1或将x2=a代入v2,将x1=0代入（1）式：,作业：201页例10-1,叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。,10-3叠加法求梁的挠度与转角,计算时可查表10-1（p205）。,叠加原理适用条件：小变形、材料服从胡克定律。,例：按叠加原理求A点转角和C点挠度。,解、载荷分解如图,查梁的简单载荷变形表：,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,叠加,一、梁的刚度条件,其中v称为许用挠度。,10-4梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,例：图示一圆木桁条，d=11.62cm、l=3.6m，E=104MPa，q=1.04kN/m，桁条的容许挠度v=l/200,试校核此桁条的刚度。,解：查表直接求,可见，不满足刚度条件。因此需重新设计圆木的直径。,（2）重新设计桁条尺寸根据刚度条件：,例6图示一圆木桁条，d=11.62cm、l=3.6m，E=104MPa，q=1.04kN/m，桁条的容许挠度v=l/200,试校核此桁条的刚度。,二、提高梁刚度的主要措施,挠曲线微分方程：,转角：,1、选择合理的截面形状，以增大截面惯性矩Iz2、尽量减小梁的跨度或长度，减少弯矩数值3、改善梁的受力情况,提高弯曲刚度的措施，就是减小结构的最大变形，根据上面所述的变形公式，可得相应的措施。,1、选择合理的截面形状,将圆形截面改为工字形、槽形或箱形，可使A较小而Iz较大。,2、尽量减小梁的跨度或长度，减小弯矩数值,B,3、改善梁的受力情况,尽可能地将集中载荷用分布载荷