洪水排险.doc

洪水排险近段时间以来，由于我国南方地区遭受持续的强暴雨袭击，许多江河流域出现百年不遇的险情。为减少损失，将采取破堤的方法排除险情，而泄洪必然影响下游沿岸区域。位于广西某区域三面环山，山很高，一面是河流，用堤坝隔离，使该区域成为封闭区域。当上游发生泄洪时，极易破堤淹没区域，造成人员和财产的损失。为减少总的损失，人们采取破堤排除险情。该区域内又分成20个矩形小区。下图是该区域的示意图：该区域与河流之间有大堤隔离，各小区域之间有高度为1.2m的小堤相互隔离，假设决堤口可选在大堤或小堤的任何地方，决堤口数目不受限制。但一经决口，就不能再补合。从河流经大堤决口流入小区域的洪水量按决口数成比例分配。如在小区域之间小堤开一决口，则假设该两小区域之间的这段小堤不复存在。若水位高于小堤，则将自动向邻近最低的一个小区泄洪。若这样的小区有几块时，则平均泄洪。各小区域被完全淹没时土地、房屋和财产等损失总数k（单位：百万元）如下表：小区域1234567891011121314151617181920损失1.47.05.83.32.09.40.96.07.21.63.04.14.15.34.41.01.12.11.34.2当洪水淹没一个小区域且水位高于该小区域高度p（单位m）时，该小区域的损失为该小区域的k和p的函数。 损失=1、假定各小区域的海拔高度相同2、假定各小区域的海拔高度不同，各小区域的海拔高度h（单位m）如下表：小区域1234567891011121314151617181920海拔3.64.04.74.43.83.33.22.55.04.43.03.52.43.83.83.72.82.53.04.8注：此时各小区域间的小堤指相对高度，例如小区域1、2间事实上有海拔5.2的小堤。你要做的事情是：一、在海拔高度相同的假设下，求：1、整个区域全部受损失的最小洪水量；2、当洪水量为20*106，40*106（m3）时，分别制定泄洪方案，使总损失最小（在一种方案中，决堤同时进行）。须计算出该方案的损失数。二、在海拔高度不同的假设下，求：1、整个区域全部受损失的最小洪水量；2、当洪水量为40*106，80*106（m3）时，分别制定泄洪方案，使总损失最小。三、在海拔高度不同的假设下，可以对小堤增高加固，增高加固的费用（不计厚度）为：1（百元/平方米），最高可将原有小堤提高0.5（m），制定泄洪、增高加固方案，使总损失最小。摘要洪水是一种严重的自然灾害，大规模的洪水会对土地、房屋等财产甚至人的生命健康造成严重损害。本论文在给定的约定条件下给出了相应的合理的泄洪方案。针对问题一，首先用MATLAB把题中所给图片进行处理得到各小区的面积和各小区的体积损失率。针对求各小区海拔相同的情况下求整个区域全部受损失的最小洪水量的问题，先确定此时各小区洪水高度即为围墙高度1.2米，然后只需要用此高度乘以整个地区的面积即可得到最小洪水量，为；针对不同洪水量的条件下求使损失最小的的泄洪方案的问题，本文首先根据本题前面部分定义和计算出的体积损失率，根据体积损失率越小的越优先选用的原则结合各小区位置在损失数最小的目标下，得到洪水量为时，损失为4.575百万元；洪水量为时，损失为12.9百万元。针对问题二，由于20个小区的海拔各有差异，一切相关面积也各有不同，这也就导致它们在遭遇洪水时的财产损失也由其水位决定。针对第1小问中要求整个区域全部损失的最大洪水量，经研究发现，要使整个区域损失最大，就得使海拔最高的小区恰好完全淹没。此时水位应达到6.2米，水面可以看成是一个绝对平面，这样可以根据每个小区的海拔高度与6.2米的绝对差计算出各小区洪水量的高度，再乘以各小区的面积并把所有乘积相加即得到使整个区域全部受损失的的最小洪水量，为。针对第2小问中，要求在不同海拔高度下使总损失最小的泄洪方案，需先算出各区域的有效堤的海拔高度，有效蓄洪量和有效体积损失率，根据有效体积损失率越小越优先的原则，并考虑各区位置和蓄洪量，在总损失最小的目标下，排出在蓄洪时各区域选用的先后顺序，根据不同的洪水量，最后得到相应的方案。经计算得，洪水量为时，总损失为8.95百万元；洪水量为时，总损失为32.2百万元。针对问题二中各小区间小堤固定不变的问题，问题三考虑了小堤可以增高加固的情况。本文在问题二中所给模型的基础上，逐步考虑各个区域与四周区域的小堤能否加固，在满足泄洪要求并考虑总损失和费用最小的前提下，得到了洪水量为、时的最佳加固方案和泄洪方案，得到总损失分别为8.95百万元和31.93万元。【关键词】：最优泄洪方案，最小损失，有效体积损失率一、 问题重述近段时间以来，由于我国南方地区遭受持续的强暴雨袭击，许多江河流域出现百年不遇的险情。为减少损失，将采取破堤的方法排除险情，而泄洪必然影响下游沿岸区域。位于广西某区域三面环山，山很高，一面是河流，用堤坝隔离，使该区域成为封闭区域。当上游发生泄洪时，极易破堤淹没区域，造成人员和财产的损失。为减少总的损失，人们采取破堤排除险情。该区域内又分成20个矩形小区。区域与河流之间有大堤隔离，各小区域之间有高度为1.2m的小堤相互隔离。题目中假设决堤口可选在大堤或小堤的任何地方，决堤口数目不受限制。但一经决口，就不能再补合。从河流经大堤决口流入小区域的洪水量按决口数成比例分配。如在小区域之间小堤开一决口，则假设该两小区域之间的这段小堤不复存在。若水位高于小堤，则将自动向邻近最低的一个小区泄洪。若这样的小区有几块时，则平均泄洪。题目中还给出各小区域被完全淹没时土地、房屋和财产等损失总数k和当洪水淹没一个小区域且水位高于该小区域高度p（单位m）时，该小区域的损失函数。1. 在海拔高度相同的假设下，求整个区域全部受损失的最小洪水量，以及当洪水量为20*106，40*106（m3）时，分别为其制定泄洪方案，使总损失最小和该方案的损失数。2. 在海拔高度不同的假设下，求整个区域全部受损失的最小洪水量以及当洪水量为40*106，80*106（m3）时，分别为其制定泄洪方案，使总损失最小。3. 在海拔高度不同的假设下，可以对小堤增高加固，增高加固的费用（不计厚度）为：1（百元/平方米），最高可将原有小堤提高0.5（m），制定泄洪、增高加固方案，使总损失最小。二、 问题分析对于问题一：第1小问要求整个区域全部受损失的最小洪水量，即洪水恰好把整个区域淹没时的洪水量，只需要计算出整个区域的面积再结合小堤的高即可算出该最小洪水量。对于第二小问需要先用MATLAB对图形进行处理算出各小区域的面积，再结合小堤的高就可以得到各小区域的体积即各小区的蓄洪量，再构造体积损失率和面积损失率这两个指标结合洪水量来制定泄洪方案。对于问题二：问题二有两个独立的小问。对于第1小问，和第一题的第1小问一样，只需要把海拔最高的小区找出来，并且加上围墙高度1.2米即得到洪水的水位高度，随后减去各区域的海拔再分别乘以各区域的面积，最后把得到的各区域内的洪水体积加总即得到使整个区域全部受损失的最小洪水量。对于第2小问，构造各小区有效堤海拔高所组成的矩阵，各小区有效蓄洪量组成的矩阵和各小区有效体积损失率组成的矩阵，根据有效损失率的大小由小到大排序，并结合各小区的位置和洪水量根据损失最小的原则来选择泄洪方案。对于问题三： 在海拔高度不同的假设下，结合第二问的模型，根据加高小堤后的投入与损失最小原则来考虑不同洪水量下的泄洪方案，一个小区接一个小区地考虑即可达到最优目标。三、 模型假设1、 小堤非常坚固，除非由于人为需要，否则不会出现决口；2、 各小区内部海拔相同，地面光滑；3、 洪水经过各小区和堤坝时无渗漏和蒸发，水量在洪水的整个运动过程中无数量减少；4、 在大堤和小堤上的决口数不受限制，可在任意地方选择决口，但决口后不可再补合；5、 为简化起见，对小堤加高按离散型变量处理，对一处小堤加高时一次至少加高0.1m；6、 决堤口可选在大堤或小堤的任何地方，且一经决口，就不能再补合，并且两区域之间的这段小堤不复存在；7、 水位高于小堤时，水将自动向邻近最低的一个小区泄洪，若这样的小区有几块时，则平均泄洪；8、 假设各小区损失的金额只与水位有关；9、 题目所给数据和图像真实可靠； 四、 符号说明1. ：每个小区域的海拔高度，其中，下同；2. :位于第行第列的小区；3. ：该区域的总损失；4. ：各有效堤的海拔高度；5. ：各有效堤海拔高度值所构成的矩阵；6. ：各区域的最大损失额；7. ：洪水在小区域里面且高于该小区的高度；8. ：表示有效蓄洪量的矩阵；9. ：各个小区域的面积；10. ：整个区域的面积；11. ：各个小区域的面积损失率；12. :各个小区域的体积；13. ：表示各区域的有效体积损失率；14. ：各小区有效体积损失率组成的矩阵；15. ：各个小区域的体积损失率。五、 模型建立与求解5.1问题一5.1.1 模型准备：计算各区的面积、体积、体积损失率和面积损失率先用Photoshop对该区域的示意图进行初步处理，得到如下图片（见图5.1）：（图5.1） 然后用MATLAB把图5.1的图片读入计算机，得到变量p，见附件1；构造两个指标：体积损失率和面积损失率，其中体积损失率为=ks，面积损失率为=kv。用这两个指标来衡量各个小区的重要性。 再根据附件1编程（程序见附件2）可以计算出总面积S为各小区域的面积、体积、面积损失率、体积损失率，见表5.1：小区域12345678910面积s()6.18.27.29.05.43.61.87.62.19.0体积v()7.39.98.710.86.54.32.29.12.510.9SL0.230.850.810.370.372.610.500.793.430.18VL0.190.710.670.310.312.160.420.662.880.15小区域11121314151617181920面积s()42.74.37.41.51.62.43.24.84体积v()4.83.25.18.91.81.92.93.95.84.8SL0.751.520.950.722.930.630.460.660.271.05VL0.631.270.80.592.430.520.370.540.220.86（表5.1）5.1.2 对于第1小题5.1.2.1模型建立第1小问：根据对第一题第1小问的分析，要求整个区域全部受损失的最小洪水量，即洪水恰好把整个区域淹没时的洪水量，可建立有关最小洪水量的模型如下：5.1.2.2模型求解因为每个小区域的海拔高度相同，故都为0米,恰好把整个区域淹没时的洪水高度等于小堤的高度即均为1.2米，则即可知整个区域全部受损失的最小洪水量为。5.1.3对于第2小问5.1.3.1模型建立要求在洪水量一定的前提下，制定分洪方案，使总损失最小，则可先构造出总损失金额的函数：，其中5.1.3.2模型求解及结果为便于比较，先画出各小区域体积损失率（体积损失率最能刻画各个区域的重要性）的图形，得到图5.2：（图5.2）1 当泄洪量为时首先通过观察知大堤和小堤只有单一决口且在损失较小的情况下无法到达泄洪任务,则至少需要2处决口,为了使损失最小,则应尽可能充分利用洪水经过的每一个小区。从图5.2中我们可以得知，区域10、1、19、5、4的体积损失率最小，而要到达区域19则要经过区域14、15、13等体积损失率较大的区域，故在洪水量较小的情况下先不考虑区域19来泄洪，为使得损失最小，应尽量把水引入区域10、1、5、4这几个小区中。而小区1和小区10的体积损失率是最小的，因此它们应该被水填满，对小区1可以直接在大堤上开口，但对于小区10，必须从4，5两小区中开口引入。经过分析，在满足泄洪要求的前提并尽量使总损失最小的前提下，共有以下几种可能的方案：当总决口数为两处时:方案1：打开小区4与河流的大堤及小区4与小区10的小堤，使得洪水进入小区4和小区10的连通区域，经过计算，易得这种方案的经济损失是4.9百万元。当总决口数为三次时：方案2：打开小区1与河流的大堤、小区5与河流的大堤、小区5和小区10的小堤、使得小区1进满水，剩余洪水进入小区5和小区10的连通区域，经过计算，这种方案的经济损失为：即此种方案的损失为4.5750百万元，以下计算方法同此题；方案3：打开小区1与河流的大堤，小区4与河流的大堤及小区5与河流的大堤，使得小区1和小区4进满水，剩余的洪水进入小区5，经过计算，易得这种方案的经济损失是5.4037百万元；方案4：打开小区1与河流的大堤，小区4与河流的大堤及小区5与河流的大堤，使得小区1和小区5进满水，剩余的洪水进入小区4，经过计算，易得这种方案的经济损失是5.6733百万元；方案5：打开小区1与河流的大堤，小区4与河流的大堤及小区4与小区10的小堤，使得小区1进满水，剩余洪水进入小区4和小区10的连通区域，经过计算，易得这种方案的经济损失为4.8572百万元；当总决口数为四处及以上时，明显浪费过多泄洪区域，不符合尽量利用洪水经过的泄洪区域的原则，不能使总损失最少，故舍去。通过比较以上五种方案可知方案2为最优。选用此方案得到最小损失为4.5750百万元；各区洪水量为1区：，5区为，10区，因此小区1，5临河大堤上的决口数之比为73:127.最优方案示意图如图5.3：（图5.3 (a)）(图5.3（b）)（2）当泄洪量为时首先通过观察知大堤和小堤只有一、二、三个决口且在损失较小的情况下无法到达泄洪任务,则至少需要四处决口,为了使损失最小,则应尽可能充分利用洪水经过的每一个小区。从图5.2中我们可以得知，区域10、1、19、5、4的体积损失率最小，而要到达区域19则要经过区域14、15、13等体积损失率大于0.5百万元/的区域，但由于洪水量较大，而且区域19的体积损失率很少，而区域14的体积损失率相对也不算太大，故可以考虑把区域14、19也考虑进来。因此为使得损失最小，应尽量把洪水引入区域10、1、5、4、14、19这几个小区中。而小区1和小区10的体积损失率是最小的，因此它们应该被水填满，对小区1可以直接在大堤上开口，但对于小区10，必须从4，5两小区中开口引入。经过分析，在满足泄洪要求的前提并尽量使总损失最小的前提下，共有以下几种可能的方案：当总决口数为四处时:方案1：打开小区2、3、4与河流的大堤及小区4与小区10的小堤，使得小区2、3进满水，剩余洪水进入小区4和小区10的连通区域，这种泄洪方式下，四个区域内的洪水高度都将超过1米，故经过计算，易得这种方案的经济损失是 17.7百万元。当总决口数为五次时：方案2：打开小区1与河流的大堤，小区4与河流的大堤、小区4与小区10的小堤、小区10与14之间的小堤以及小区14与19的小堤，使得小区1进满水，剩余洪水进入小区4、10、14、19的连通区域，经过计算，这种方案的经济损失为：即此种方案的损失为12.9百万元，以下计算方法同此题；方案3：打开小区4与河流的大堤、小区5与河流的大堤、小区4与小区10的小堤、小区10与14的小堤以及小区14和小区19的小堤，使得洪水进入这5个小区的连通区域内，经过计算，易得这种方案的经济损失是13.5百万元；方案4：打开小区1与河流的大堤、小区4与7的小堤、小区7与8的小堤、小区4与河流的大堤以及小区4与小区10的小堤，使得小区1、7、8进满水，剩余的洪水进入小区4和10的连通区域，经过计算，易得这种方案的经济损失是13.2百万元；方案5：打开小区1与河流的大堤、小区4与7的小堤、小区7与8的小堤、小区4与河流的大堤以及小区4与小区10的小堤，使得小区4、10进满水，剩余的洪水进入小区1、7和8的连通区域，经过计算，易得这种方案的经济损失是13.2百万元；当总决口数为六处及以上时，明显浪费过多泄洪区域，不符合尽量利用洪水经过的泄洪区域的原则，不能使总损失最少，故舍去。通过比较以上五种方案可知方案2为最优。选用此方案得到最小损失为12.9百万元；各区洪水量为1区、4区、10区、14区8.013、19区5.197，因此小区1、4临河大堤上的决口数之比为73:327.最优方案示意图如图5.4：（图5.4（a）(图5.4（b）)5.2问题二5.2.1对于第1小问5.2.1.1模型建立根据对第一题第1小问的分析，要求整个区域全部受损失的最小洪水量，即洪水恰好把整个区域淹没时的洪水量，可建立有关最小洪水量的模型如下：5.2.1.2模型计算与求解因为每个小区域的海拔高度不尽相同，故要把全部区域淹没,则洪水量要足以迈过海拔最高区域的周围小堤，即洪水高度要达到6.2米，则即可知整个区域全部受损失的最小洪水量为。5.2.2 对于第2小问5.2.2.1 模型准备（1）定义一：有效堤有效堤表示各区域四周小堤最低的海拔高度，用表示，其中表示区域所在行号，其中行号从靠近河流的行向远离河流的行逐渐增大；表示列号，由左往右列号逐渐增大（下同）。（2）定义二：有效蓄洪量有效蓄洪量表示各小区蓄水高度与有效堤顶部相平时各区所蓄洪水量，用表示。（3）定义三：有效体积损失率。有效体积损失率表示各小区所有价值与和它的有效蓄洪量的比值，用表示。（4）定义四：附加蓄洪量多个区域连通后所蓄的洪水量超过这几个小区单独蓄洪时相加所得的总蓄洪水量，则称多增加的蓄洪量为附加蓄洪量。（5）将这20个小区域按矩阵排列方式分别加以命名，用表示第行第列的小区，其中靠近河流的部分为第1行（如小区1表示为，小区6表示为）。5.2.2.2模型建立经观察计算，容易得各区域有效堤的海拔高度所组成的矩阵H为：根据上文的定义可以编程（程序见附件3）计算出各区域的有效蓄洪量和有效体积损失率，分别得到矩阵Q、V，则：，根据有效体积损失率的大小按由小到大的顺序排列为：由于以上指标顺序为按有效体积损失率由小到大的顺序排列的，故在考虑泄洪时应尽量按上述顺序安排泄洪方案，又由于至最靠近河流，故泄洪时应首先使用这5个区域来进行蓄洪，这5个小区的有效体积损失率的大小顺序为：当洪水量小于区的有效蓄洪量时，只要打开区和大堤的决口即可。但当区的有效蓄洪量小于洪水量时就需要打开其它小区来进行蓄洪，打开的小区可能有，这几个小区的有效体积损失率排序为：所以决开小区1与河流的大堤口以后如果洪水量大，又该打开小区5进行蓄洪，打开小区5以后，如果还不能满足蓄洪要求则又按照上述方法比较下一步可能打开的小区的有效体积损失率，并考虑下一步能够打开的区域则可知以后各步使用的蓄洪小区顺序为：在实际操作过程中，还需要考虑各小区的附加蓄洪量，经过分析计算可以得到表5.2：最大蓄洪量、对应打开的小区和全部财产损失对应表最大蓄洪量（106m3）对应打开的小区全部财产损失（百万元）7.34835711.417.069621,53.427.924971,5,10538.692351,5,10,48.340.849721,5,10,4,79.251.594281,5,10,4,7,14+1518.957.124011,5,10,4,7,14+15,132374.643891,5,10,4,7,14+15,13,18+831.181.043221,5,10,4,7,14+15,13,18+8,1732.2(表5.2)注：上表中小区14和15是同时接受小区10泄出来的洪水，小区18和8也同时接受小区13泄出来的洪水；当使用小区18和小区8蓄洪时，若小区18、8、13分别蓄满洪水则三个小区的总蓄洪量为18.52*106m3,而当这三个小区都蓄满水水平面达到3.7米以后，还可以再蓄洪水0.3平高使水平面达到4米，而此时相当于增加了附加蓄洪量4.53*106立方米，使这三个小区的总蓄洪量达到23.05*106m3米5.2.2.3模型求解与分析根据表5.1可以得出,当泄洪量为时，应该打开的小区为：1、5、10、4、7。制定的泄洪方案为：分别在小区1、5、4与河流的大堤上开87、206、108个决口；打开小区5与10的小堤，让这两个小区连通；当小区1装满洪水后让洪水泄入小区7；最后让剩余洪水进入小区4。此时最优方案示意图如图5.5：（图5.5（a）(图5.5（b）)当洪水量为时，应该打开的小区1、5、10、4、7、14+15、13、18+8、17。制定的泄洪方案为：分别在小区1、5、4与河流的大堤上开95、608、108个决口；打开小区1、7使水蓄满，打开小区4让水蓄满，决开小区5与10之间的小堤，其余部分让洪水漫过去即可。此时最优方案示意图如图5.6：(图5.6（a）)(图5.6（b）)5.3问题三5.3.1模型建立与分析根据问题二中建立的模型,按照相应的顺序,分别考虑对各个小区是否加高及加高多少所带来的收益与损失的大小。并以装下全部洪水，且损失最小为目标来决定对每个小区的小堤是否加高若加高则考虑加高多少。5.5.3模型求解经过分析，当洪水量为时，对任一小区的小堤加高只会增加损失与成本，故此时仍按问题二中原定方案泄洪。此时最优方案示意图同图5.6。经过进一步分析，当洪水量为时，前几个区域，即1、5、10、4、7都不必对小堤加高；当涉及到小区15和14时，考虑到小区5的有效体积损失率比较大，故考虑把区域10与区域15之间的小堤加高10cm以不让洪水进入区域15而进入区域14；然后区域14、13、8的周围小堤都不变化，对于小区17考虑到它的有效体积损失率也比较高且旁边的区域19单位体积损失率很低，故将区域17与18边界处的小堤加高0.3米至4.3米以让洪水进入区域19，经过计算此时蓄洪量已经可以满足的泄洪要求了；在此方案下小区1、7蓄满了洪水，小区4蓄满了洪水，剩余的洪水进入余下和小区。最后，此时泄洪方案为：打开小区1、5、4与河流的大堤，且三处的决口数分别为95、608、108；打开小区1与7之间的小堤，5与10之间的小堤，则最后蓄洪的路线如图5.7：（图5.7（a）(图5.7（b）)六、 模型评价与改进本文给出的泄洪方案，在应对洪水的少量增减时，可以在未满的区域中增减，这样操作不但便利，而且不会增加多少损失。由此可见，本文提出的方案是稳定的。上述方案中，为使得大堤按要求的量进水，需要的决口数目很大，例如在海拔高度不相同的情况下，小区1,4,5的大堤决口数量为87:108:206。如此大量的决口不但在实际操作中很难实现，即使多破堤也会带来高昂的破堤的成本，而且大量破堤会为灾后重建带来巨大的困难，大幅提高了重建的花费。因此可以取一个近似比例的数组，如19:36:69，这样一来虽然会使得洪水带来的损失有所增加，但是方案的可操作性以及后期的负面影响则会大大减少，因此这个破堤数组还是可以接受的。表5.2中给出的最大蓄洪量、对应打开的小区和全部财产损失对应关系只给出了最大到81.04322*106m3蓄洪量的泄洪方案，而对更大的洪水量的泄洪方案没有进一步的探讨。因此，如有必要，可以按照文中思路对更大洪水量的泄洪方案进行讨论。七、 参考文献1.姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版）M，北京：高等教育出版社，2003.8；2.张圣勤，MATLAB 7.0实用教程，M北京：机械工业出版社，2006.3；3.欧阳真清，河道最佳泄洪方案的设想J，湖南水利水电，2006.3；4.戴毅，关于最佳泄洪方案的讨论J，科技经济市场,2007.3；5.张广政等，关于最佳泄洪方案的初探C，1998中国控制与决策学术年会论文集,1998.八、 附录10.1 附件1：见电子附件。10.2 附件2：计算各小区域的