现代控制理论第一章

1.1状态变量及状态空间表达式,1.3状态变量及状态空间表达式的建立(一),1.2状态变量及状态空间表达式的模拟结构图,1.5状态矢量的线性变换(坐标变换),1.4状态变量及状态空间表达式的建立(二),1.6从状态空间表达式求传递函数阵,1.1状态变量及状态空间表达式,1.1.1状态及状态变量,定义：动态系统的状态,是指能够完全描述系统时间域动态行为的一个最小变量组。该变量组的每个变量称为状态变量。该最小变量组中状态变量的个数称为系统的阶数。,“状态”定义的三要素完全描述。即给定描述状态的变量组在初始时刻(t=t0)的值和初始时刻后(tt0)的输入,则系统在任何瞬时(tt0)的行为,即系统的状态,就可完全且唯一的确定。动态时域行为。最小变量组。即描述系统状态的变量组的各分量是相互独立减少变量,描述不全。增加则一定存在线性相关的变量,冗余的变量,毫无必要。,1.1状态变量及状态空间表达式,1.1.2状态矢量,若要完全描述n阶系统,则其最小变量组必须由n个变量(即状态变量)所组成,一般记这n个状态变量为x1(t),x2(t),xn(t).若以这n个状态变量为分量,构成一个n维变量向量,则称这个向量为状态变量向量,简称为状态向量,并可表示如下:,多输入多输出系统示意图,状态变量是描述系统内部动态特性行为的变量。它可以是能直接测量或观测的量,也可以是不能直接测量或观测的量；可以是物理的,甚至可以是非物理的,没有实际物理量与之直接相对应的抽象的数学变量。,1.1.3状态空间,若以n个状态变量x1(t),x2(t),xn(t)为坐标轴,就可构成一个n维欧氏空间,并称为n维状态空间,记为Rn.状态向量的端点在状态空间中的位置,代表系统在某一时刻的运动状态。,随着时间的推移,状态不断地变化,tt0各瞬时的状态在状态空间构成一条轨迹,它称为状态轨迹。状态轨迹如右图所示。,二维空间的状态轨迹,根据电学原理，容易写出两个含有状态变量的一阶微分方程组：,1.1.4状态方程,由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态方程。,用下图所示的R-L-C网络，说明如何用状态变量描述这一系统。,图一,或,式(1)就是图一系统的状态方程，式中若将状态变量用一般符号表示，即令x1=uC,x2=i，并写成矢量矩阵形式，则状态方程变为：,式（3）就是图一系统的输出方程，它的矩阵表示式为：,式中,1.1.5输出方程,在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式，称为系统的输出方程。如在图一系统中，指定uC作为输出，输出一般用y表示，则有：,状态方程和输出方程总合起来，构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。在经典控制理论中，用指定某个输出量的高阶微分方程来描述系统的动态过程。如上图一所示的系统，在以uC作输出，从式(1)消去中间变量i，得到二阶微分方程为：,其相应的传递函数为：,（6）,（5）,1.1.6状态空间表达式,（8）,设单输入一单输出定常系统，其状态变量为则状态方程的一般形式为：,输出方程式则有如下形式：,回到式（5）或式（6）的二阶系统，若改选和作为两个状态变量，即令则得一阶微分方程组为：,同一物理系统，状态空间表达式不唯一,因而多输入一多输出系统状态空间表达式的矢量矩阵形式为：,式中，x和A与单输入系统相同，分别为n维状态矢量和nn系统矩阵；,（9）,（10）,用矢量矩阵表示时的状态空间表达式则为：,1.1.7状态空间表达式的系统框图,线性系统的状态空间模型可以用结构图的方式表达出来,以形象说明系统输入、输出和状态之间的信息传递关系。在采用模拟或数字计算机仿真时,它是一个强有力的工具。系统结构图主要有三种基本元件:积分器，加法器，比例器,1.1.7状态空间表达式的系统框图,式（9）和（10）可以用框图表示系统信号传递的关系。,1.2状态变量及状态空间表达式的模拟结构图,状态空间表达式的框图可按如下步骤绘制：积分器的数目应等于状态变量数，将它们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据所给的状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。,例1：对于一阶标量微分方程：,例2：三阶微分方程：,将最高阶导数留在等式左边，上式可改写成,它的模拟结构图如下：,例3：已知状态空间表达式，画出相应的模拟结构图。,它的模拟结构图如下：,例4：求下列二输出的二阶系统的模拟结构图。,它的模拟结构图如下：,1.3状态变量及状态空间表达式的建立(一),状态空间表达式的建立一般可以从三个途径求得：由系统框图来建立，即根据系统各个环节的实际连接，写出相应的状态空问表达式；从系统的物理或化学的机理出发进行推导；由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数予以演化而得。,1.3状态变量及状态空间表达式的建立(一),1.3.1从系统框图出发建立状态空间表达式,几个典型环节的模拟结构图图,（1）积分环节：,（2）一阶惯性环节：,1.3状态变量及状态空间表达式的建立(一),1.3.1从系统框图出发建立状态空间表达式,几个典型环节的模拟结构图,（3）一阶微分惯性环节：,（4）二阶环节:,后一部分是前向通道为的单位负反馈系统,而前向通道又可分解为比例器a0、积分器和一阶惯性环节三部分,1.3状态变量及状态空间表达式的建立(一),1.3.1从系统框图出发建立状态空间表达式,几个典型环节的模拟结构图,1.3状态变量及状态空间表达式的建立(一),1.3.1从系统框图出发建立状态空间表达式,例1：控制系统的结构图如下图，试画出模拟结构图并求出状态空间表达式,1.3状态变量及状态空间表达式的建立(一),1.3.1从系统框图出发建立状态空间表达式,例2：控制系统的结构图如下图，试画出模拟结构图并求出状态空间表达式,1.3.2从系统的机理出发建立状态空间表达式,一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动液压、热力等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系统的输出方程。,1.3.2从系统的机理出发建立状态空间表达式,例1：求下图电路的状态空间表达式,解：选择三个储能元件L1、L2、C上的物理量i1、i2、uc为状态变量x1x2、x3，则有,1.4状态变量及状态空间表达式的建立(二),1.4状态变量及状态空间表达式的建立(二),1.4状态变量及状态空间表达式的建立(二),1.4.1传递函数中没有零点时的实现,在这种情况下，系统的微分方程为：,相应的系统传递函数为,若取y/b0及其各阶导数作为状态变量，则有,输出方程为：,表示成矩阵形式，则为：,顺便指出，当A矩阵具有式上矩阵的形式时，称为友矩阵，友矩阵的特点是主对角线上方的元素均为1；最后一行的元素可取任意值；而其余元素均为零。,其模拟结构图为：,1.4状态变量及状态空间表达式的建立(二),1.4.1传递函数中没有零点时的实现,若取y及其各阶导数作为状态变量，则有,输出方程：y=x1,将上述状态方程和输出方程写成矩阵形式有：,其模拟结构图为：,例：将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型,此时，系统的微分方程为：,相应地，系统传递函数为：,不是一般性，以三阶系统为例，设待实现的系统传递函数为：,因为上式可变换为,（26）,1.4.2传递函数中有零点时的实现,令,则,对上式求拉氏反变换，可得：,或表示为：,系统模拟结构图为：,传递函数有零点时(推广到N阶系统),求状态空间表达式,1.5状态矢量的线性变换(坐标变换),1.5.1系统状态空间表达式的非唯一性,对于一个给定的定常系统，可以选取许多种状态变量，相应地有许多种状态空间表达式描述同一系统，也就是说系统可以有多种结构形式。所选取的状态矢量之间，实际上是一种矢量的线性变换(或称坐标变换)。,设给定系统为：,（37）,即,代入式（37），得到新的状态空间表达式：,（38）,我们总可以找到任意一个非奇异矩阵T，将原状态矢量x作线性变换，得到另一状态矢量z，设变换关系为：,系统特征值就是系统矩阵A的特征值，也即特征方程：,（43）,的根。n*n方阵A且有n个特征值；实际物理系统中，A为实数方阵，故特征值或为实数，或为成对共轭复数；如A为实对称方阵，则其特征值都是实数。,1.5.2系统特征值的不变性及系统的不变量,1.系统特征值,系统,式(43)与式(44)形式虽然不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。可以证明如下：,2系统的不变量与特征值的不变性,同一系统，经非奇异变换后，得：,将特征方程写成多项式形式:,3特征矢量（向量）,由于特征值全由特征多项式的系数an-1，an-2，a1，a0唯一确定，而特征值经非奇异变换是不变的，那么这些系统an-1，an-2，a1，a0也是不变的量。所以称特征多项式的系数为系统的不变量。,一个n维矢量Pi：经过以A作为变换阵的变换，得到一个新的矢量即,如果此即矢量Pi，经A线性变换后，方向不变，仅长度变化倍，则称Pi为A的对应于的特征矢量，此时有,1.5.3状态空间表达式变换为约旦标准型(特征值规范型）,根据系统矩阵A求其特征值，可以直接写出系统的约旦标准型矩阵J。,无重根时,欲得到变换的控制矩阵T-1B和输出矩阵CT，则必须求出变换矩阵T。下面根据A阵形式及有无重根的情况，分别介绍几种求T的方法。,1.A阵为任意形式(1)A阵的特征值无重根时,设是A的n个互异特征根，求出A的特征矢量Pi,则变换矩阵T由A的特征矢量Pi构成，即,化成对角线标准型,1.A阵为任意形式(2)A阵的特征值有q个重根时,化为约旦标准型,2A阵为标准型(友矩阵)，即,(1)A的特征值无重根时，其变换是一个范德蒙德(Vandermonde)矩阵，为：,(2)A特征值有重根时，以有的三重根为例：,化为约旦标准型,已知系统传递函数：,（55）,现将式(55)展开成部分分式。由于系统的特征根有两种情况：一是所有根均是互异的，一是有重根。,3系统的并联型实现,（1）无重根时,此时（无重根），状态空间表达式（1）为,模拟结构图入右所示：,此时（无重根），状态空间表达式（2）为,模拟结构图入右所示：,（2）有重根时,此时，状态空间表达式为：,模拟结构图为：,1.6从状态空间表达式求传递函数阵,其中各元素Wij(s)都是标量函数，它表征第j个输入对第i个输出的传递关系。当ij时,意味着不同标号的输入与输出有相互关联，称为有耦合关系，这正是多变量系统的特点。,W(S)还可以表示为：,可以看出，W(s)的分母就是系统矩阵A的特征多项式，W(s)的分子是一个多项式矩阵。,应当指出，同一系统，尽管其状态空间表达式可以作各种非奇异变换而不是唯一的，但它的传递函数阵是不变的。当做坐标变换，即令z=T-1x时，则该系统的状态空间表达式为：,（71）,那么对应上式的传递函数阵应为：,即线性变换不改变系统的传递函数阵,1.6.2子系统在各种连接时的传递函数阵,实际的控制系统，往往由多个子系统组合而成，或并联，或串联，