微积分3-5. 导数在经济学中的应用ppt课件

第三章导数与微分,3.1导数的概念,3.2求导法则与求导公式,3.3隐函数的导数高阶导数,3.4微分,3.5导数在经济学中的应用,3.5导数在经济学中的应用,一边际与边际分析,定义设某经济函数在点可导，在内的平均变化率为；在点处的瞬间变化率为在经济学中称为在点处的边际函数值。,“边际”(Margin)一词的一般含义是指事物在时间或空间上的边缘或界限，它是反映事物数量的一个概念。在经济上，边际量是指生产、交换、分配和消费在一定条件下的最后增加量.研究这个增量的性质和作用，构成了边际分析的基本内容。西方经济学认为，边际量或增量分析，比总量分析和平均量分析，能更精确地描述经济变量之间的函数关系。,设在点处，当自变量从改变一个单位（即自变量的增量）时函数的增量的准确值为，由微分近似公式知，的近似值为,当时，标志着自变量从减少一个单位，而,由此可知有关边际的经济意义是：经济函数在点处当自变量增加（减少）一个单位时，函数近似增加（减少）个单位。,例3.38设函数，求在时的边际函数值,解因为，所以,若函数具有经济意义，则表明：当时，每改变一个单位（增加或减少一个单位），改变十个单位（增加或减少十个单位），,（1）总成本函数与边际成本,某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部资源投入费用的总和，它由固定成本与可变成本组成.平均成本是指生产一定数量的产品，平均每单位产品的成本.边际成本是指总成本的变化率.总成本、平均成本和边际成本都是产量的函数.,设产品的产量为单位时，称为该产品的总成本函数，产量时的成本为固定成本，为可变成本。,称为边际成本函数,表示产量为时的边际成本，其经济意义是当产量为时，每增加（减少）一个单位产量，总成本将增加（减少）个单位。,称为平均成本函数,称为平均边际成本函数,例3.39设某商品的成本函数为，当产品的生产量为时的平均成本和边际成本分别为多少，并说明边际成本的经济意义.,解平均成本函数为,则当时的平均成本为,又由边际成本函数为,则当时的边际成本为,边际成本的经济意义是：当产品的产量为10时，每多生产或少生产一个单位，总成本将增加或减少0个单位.,（2）总收益函数与边际收益,总收益（收入）是指生产者出售一定数量的产品所获得的全部收入.平均收益是指生产者出售一定数量的产品，平均每售出单位产品所获得的收入，也就是单位产品的售价.边际收益是指总收益的变化率.总收益、平均收益和边际收益都是销售量的函数.,设x为产品的销售量，则P=P(x)称为产品的销售价格函数,称为总收益函数,称为边际收益函数,表示销售量为x时的边际收益，其经济意义是当销售量为x0时，每增加（减少）一个销售量，总收益将增加（减少）个单位。,例.某商品销售量x与价格P之间的函数关为。求当销售量分别为400，500，600时的总收益和边际收益，并说明边际收益的经济意义,解因为总收益函数为,所以，当销售量时的总收益分别为,又由于边际收益函数为,所以，当销售量时的边际收益分别为,边际收益的经济意义是：当销售量分别为400，500，600时，每增加（减少）一个销售量，总收益将增加（减少）2、0、2个单位.,（3）利润函数与边际利润,利润是指生产者出售一定数量的产品所获得的净收入.一般情况下，总利润函数等于总收益函数与总成本函数的差，边际利润是指利润的变化率,称为边际利润函数,称为总利润函数,表示产量为时的边际利润，其经济意义是当产量为时，每增加（减少）一个产量，利润将增加（减少）个单位.,由，显然边际利润可由边际收益与边际成本决定.即当时，；当时，；当时，,例3.40某产品的总成本函数，总收益函数，求当产量分别为时的总利润和边际利润，并说明边际利润的经济意义。,解由于利润函数为,所以当产量时的利润分别为,边际利润的经济意义是：当产量分别为400，500时，每增加（减少）一个销售量，利润将增加（减少）0、2个单位.,又由于边际利润函数为,.,14,弹性系数表示弹性的大小(弹性),弹性（elasticity）,物理学名词,指一物体对外部力量的反应程度或敏感程度.,弹性是相对数之间的相互关系，即百分数变动的比率，或者说它是一个量变动1%，引起另一个量变动百分之多少（程度）的概念。,对于任何存在函数关系的经济变量之间，都可以建立二者之间的弹性关系或进行弹性分析。,二弹性,弹性,利用函数与自变量的相对改变量之比研究经济变量对另一个经济变量变化的反应程度的方法称为弹性分析.,则函数的相对增量与自变量的相对增量之比,称为函数在区间内的平均相对变化率或弹性,当时，的极限称为函数在点处的相对变化率，或相对导数，或弹性,弹性的经济意义是经济函数在点处当自变量改变1时，的函数值近似改变百分之,一般地，若函数在区间(a,b)内可导，且则称为函数在区间(a,b)内的相对变化率或弹性函数.,相关概念的比较,有量刚,无量刚,研究变量绝对量之间的关系,是某一变量的相对变化引起另一变量的相对变化的度量,例3.41求的弹性函数以及弹性,解因为，于是,弹性的实际意义是在处当自变量改变1时，的函数值改变6,所以,弹性在经济学中常应用于研究需求量与价格之间的变化关系.需求是指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购买的商品量.商品的需求量一般与价格有关，描述需求量与价格关系的函数称为需求函数.,.,设表示某商品的价格，表示某商品的市场需求量，则需求函数表示为,.,由于需求函数通常是单调减少函数，即因此需求弹性一般为负值.,（2）当（即）时称为高弹性，此时商品需求量变化的幅度大于价格变化的幅度，价格的变动对需求量影响较大,（3）当（即）时称为低弹性，此时商品需求量变化的幅度小于价格变化的幅度，价格的变动对需求量影响不大,.,一般地，设商品的需求函数可导，总收益函数为则由边际收益,（1）当时，称边际收益，此时商品的价格上涨可使得总收益增加，价格下降可使得总收益减少。,（2）当时，称边际收益，此时商品的价格上涨可使得总收益减少，价格下降可使得总收益增加。,（3）当时，称边际收益，此时商品涨价或降价对总收益没有明显的影响。,例3.42设某商品的需求函数为，求P=4,5,6时的需求价格弹性，并说明其经济意义,解由于需求弹性为,且,当时，为低弹性，此时，商品的价格上涨1%，需求量将下降0.667%，价格上涨对需求量的下降影响较小，因此降价销售将得总收益减少，涨价销售