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.,第一节多元函数的概念、极限与连续性,一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性四、小结、思考题,.,（1）邻域,一、多元函数的概念,.,（2）区域,例如，,即为开集,.,.,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,.,有界闭区域；,无界开区域,例如，,.,（3）聚点,内点一定是聚点；,说明：,边界点可能是聚点；,例,(0,0)既是边界点也是聚点,.,点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E,例如,(0,0)是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,.,（4）n维空间,n维空间的记号为,说明：,n维空间中两点间距离公式,.,n维空间中邻域、区域等概念,特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,邻域：,设两点为,.,（5）二元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,.,例1求的定义域,解,所求定义域为,.,（6）二元函数的图形,（如下页图）,.,二元函数的图形通常是一张曲面.,.,例如,图形如右图.,例如,左图球面.,单值分支:,.,二、多元函数的极限,.,说明：,（1）定义中的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,.,例2求证,证,当时，,原结论成立,.,例3求极限,解,其中,.,例4证明不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,.,不存在.,观察,播放,.,确定极限不存在的方法：,.,利用点函数的形式有,.,三、多元函数的连续性,定义3,.,解,取,.,故函数在(0,0)处连续.,当时,.,例6讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,.,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,.,（3）一致连续性定理,在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,.,例,解,.,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,（注意趋近方式的任意性）,四、小结,多元函数的定义,.,思考题,.,思考题解答,不能.,例,取,但是不存在.,原因为若取,.,练习题,.,.,.,练习题答案,.,不存在.,观察,.,观察,不存在.,.,观察,不存在.,.,观察,不存在.,.,观察,不存在.,.,观察,不存在
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