第8章：信号处理中常用的正交变换

第8章信号处理中常用的正交变换,8.1希尔伯特空间中的正交变换8.2K-L变换8.3离散余弦变换(DCT)与离散正弦变换(DST)8.4*离散Hartley变换(DHT)8.5*离散W变换(DWT)及正弦类变换8.6*DCT、DST及DWT快速算法简述8.7*图象压缩简介8.8*重叠正交变换8.9与本章内容有关的MATLAB文件,目录,希尔伯特空间中的正交变换,赋范线性空间内积空间完备的内积空间（希尔伯特空间）,信号的分解,设空间是由N维空间一组向量,概念：,对任一，都可作如下分解：,所张成，即,信号的离散表示,或信号的分解,是分解系数或信号的变换,设想另有一组向量,Step1:,满足：,Step2:做内积,对,注意：满足双正交关系的两组基向量各自并不满足正交关系，只是相互之间满足正交关系。,如果：,信号的正交变换,给定数据向量：,及算子,作变换,矩阵的行（列）向量即是前面的向量,若：,则上述变换即为正交变换，或保范（数）变换。,实际上是正交矩阵，,以上正交变换是从线性代数的角度来定义。,正交变换的性质：,2.正交变换在计算上最为简单。如果是离散信号，且N是有限值，那么变换只是简单的矩阵与向量运算：,1.若正变换存在，那么反变换一定存在，且变换是唯一的；,性质2：展开系数是信号在基向量上的准确投影,非正交基的情况下，“基向量”称为“标架（Frame)”,这时，展开系数不是准确投影。,性质3：正交变换保证变换前后信号的能量不变，此性质又称为“保范(数)变换”。,此性质实际上是Parsevals定理，即信号变换前后能量保持不变。注意，只有正交变换才有此性质。,性质4：信号正交分解具有最小平方近似性质。,最小的条件：,性质5：正交变换的系数具有去除相关和集中能量的性质。,正交基的选择原则：具有所希望的物理意义或实用意义；正交基函数应尽量简单，计算量小；最大限度浓缩信号能量，去除相关性；基函数应能同时具有频域和时域的定位功能。,正交变换的实例：FS,FT,DTFT,DFS,DFTDCT,DST,DHTWalsh-Hadamard,Haar变换SLT(斜变换）,正弦类正交变换,非正弦类正交变换,特征值分解,有趣发现:相位不变。,阶次与截止频率？,KL变换,数据向量：,协方差阵：,对称阵,体现了信号各元素之间的相互关系,KL变换的思路：,寻找正交矩阵，做变换，使的协方差阵为对角阵。,这样,之间彻底去除了相关性。,1.由,求的特征值,3.将归一化，即令,步骤：,4.由归一化的,构成正交阵,5.由实现对的KL变换：,KL变换的应用数据压缩：,的KL展开,欲使均方误差：,为最小,应是的特征向量。,最小,这时,注意：对正交变换,不是时域序列，而是的变换系数（即），如DFT的。正交变换后，信号的能量一般集中在少数的变换系数上，所以可以舍去绝大部分系数，这并不明显损失信号的能量。由剩下的少量系数，如，通过反变换可以很好的恢复出原信号。从而达到数据压缩的目的。,KL变换：去相关性最彻底，在此意义上是最佳正交变换；,8.3离散余弦变换（DCT）,给定：,定义：,DCT的定义,DCT的核函数，DCT矩阵,离散余弦变换(DCT),DCT的特点DCT是实变换；DCT是正交变换；在一定条件下，DCT近似K-L变换；DCT有快速算法。正因为DCT有上述特点，因此，DCT在语音和图像压缩中已获得广泛应用。,例：8点DCT：,DCT反变换,在DCT中，正变换矩阵和反变换矩阵是一样的，都是实矩阵。特别有利于实时实现及硬件实现。,一阶马尔可夫过程（Markov-1):语音和图象处理中常用的数学模型。一个随机信号，若其pdf满足如下关系：,则称为一阶马尔可夫过程。该式的含意是：已知过程在现在时刻的状态，那么，下一个时刻的状态只和现在的状态有关，而和过去的状态无关。,令是Markov-1随机序列相邻两元素之间的相关系数，则该序列的协方差矩阵有如下关系：,按KL变换的思路，现需要求的特征值及特征向量，以形成变换的正交矩阵。但对Markov-1过程，协方差阵的特征向量可以解析的给出，因此正交变换的矩阵也可解析的得到：,是方程,的根,现考虑时的情况：,有：,由：,必有：,将,结论：当时，对Markov-1过程做KL变换的正交矩阵正是DCT变换的变换矩阵，也即：此时的DCT近似KL变换。因为DCT有快速算法，另外，Markov-1过程可作为一大类信号（语音、图象）的数学模型，因此DCT在图象、语音压缩中起到了关键性的作用，成为国际上许多标准（如JPEG,MPEG）的重要工具。,给定：,定义：,反变换：,离散正弦变换（DST）,离散正弦变换(DST),变换矩阵,DST也是正交变换,可以证明，DST在一定条件下也是对KL变换的近似。如何评判近似的好坏,正弦类变换：,变换前相关矩阵非对角线上元素的和；,变换后相关矩阵非对角线上元素的和；越小越好,：反映了变换后能量集中的程度。若越小、越大，则能