2019学年广东省广州大学附中、铁一中学、外国语学校高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（含解析）

2018-2019学年广东省广州大学附中、铁一中学、外国语学校高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选项，仅有一个选项正确.请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑）1（5分）已知集合，则AB，C，D2（5分）已知复数满足，则AB3C4D53（5分）已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则该双曲线的标准方程为ABCD4（5分）已知，满足约束条件，则最大值为A6B4C3D15（5分）展开式中的系数为A15B20C30D356（5分）已知函数是上的奇函数，且的图象关于对称，当，时，则的值为ABC0D17（5分）下列程序框图中，输出的的值是ABCD8（5分）已知点，是圆内的一点，直线是以为中点的弦所在直线，直线的方程为，那么A，且与圆相交B，且与圆相切C，且与圆相离D，且与圆相离9（5分）九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图中如图所示，已知该几何体的体积为，则图中A1BC2D10（5分）已知函数的最大值为2，且满足，则ABC或D或11（5分）已知点，是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若，则的最小值为A3BCD412（5分）设是函数的导函数，且，为自然对数的底数），则不等式的解集为ABCD二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上）13（5分）已知向量，的夹角为，则14（5分）已知，则15（5分）已知的内角，的对边分别为，若，且的面积为，则的周长为16（5分）已知，是半径为2的球面上的点，点在上的射影为，则三棱锥体积的最大值是三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）已知等差数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和18（12分）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，是的中点（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值19（12分）某保险公司对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为，三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000，6000，2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如表（并以此估计赔付概率） 工种类别 赔付频率 已知，三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元（1）求保险公司在该业务所或利润的期望值；（2）现有如下两个方案供企业选择：方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的，职工个人负责保费的，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议20（12分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，为平面上的动点，且，线段的中垂线与线段交于点（1）求的值，并求动点的轨迹的方程；（2）若直线与曲线相交于，两点，且存在点（其中，不共线），使得，证明：直线过定点21（12分）已知函数（其中且为常数，为自然对数的底数，（）若函数的极值点只有一个，求实数的取值范围；（）当时，若（其中恒成立，求的最小值的最大值选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在直角坐标系中，直线过点，且倾斜角为，以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程，并判断曲线是什么曲线；（2）设直线与曲线相交与，两点，当，求的值选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数，（1）解不等式；（2）若对任意的，均存在，使得成立，求实数的取值范围2018-2019学年广东省广州大学附中、铁一中学、外国语学校高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选项，仅有一个选项正确.请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑）1（5分）已知集合，则AB，C，D【考点】：交集及其运算【专题】37：集合思想；：定义法；：集合【分析】求出中的范围确定出，求出中不等式的解集确定出，找出与的交集即可【解答】解：由中，得到，即，由中不等式变形得：，解得：，即，则，故选：【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）已知复数满足，则AB3C4D5【考点】：复数的模【专题】36：整体思想；：定义法；：数系的扩充和复数【分析】根据复数的基本运算先求出，然后利用复数的模长公式进行计算即可【解答】解：由，得，则，则，故选：【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数的运算法则先求出复数的表达式是解决本题的关键3（5分）已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则该双曲线的标准方程为ABCD【考点】：双曲线的性质【专题】11：计算题；34：方程思想；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据题意，由双曲线的渐近线方程可以设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线方程可得的值，将的值代入双曲线的方程，变形可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线方程为，设双曲线的方程为，又由双曲线经过点，则有，则双曲线的方程为；故选：【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是设出双曲线的方程4（5分）已知，满足约束条件，则最大值为A6B4C3D1【考点】：简单线性规划【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；：不等式【分析】画出题中不等式组表示的平面区域，得如图的及其内部，再将目标函数对应的直线进行平移，可得当，时，取得最大值为5【解答】解：作出，满足约束条件表示的平面区域，得到如图的及其内部，其中，设，将直线进行平移，当经过点时，目标函数达到最大值，故选：【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题5（5分）展开式中的系数为A15B20C30D35【考点】：二项式定理【专题】35：转化思想；：转化法【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可【解答】解：展开式中：若提供常数项1，则提供含有的项，可得展开式中的系数：若提供项，则提供含有的项，可得展开式中的系数：由通项公式可得可知时，可得展开式中的系数为可知时，可得展开式中的系数为展开式中的系数为：故选：【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用属于基础题6（5分）已知函数是上的奇函数，且的图象关于对称，当，时，则的值为ABC0D1【考点】：抽象函数及其应用【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用【分析】根据题意，分析可得且，进而可得，变形可得：，可得函数是周期为4的周期函数，据此可得，结合函数的奇偶性的性质即可得答案【解答】解：根据题意，的图象关于对称，则，又由函数是上的奇函数，则，则有，变形可得：，即函数是周期为4的周期函数，则（2），又由函数是上的奇函数，则，故；故选：【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，关键是分析函数的周期，属于基础题7（5分）下列程序框图中，输出的的值是ABCD【考点】：程序框图【专题】11：计算题；27：图表型；：试验法；：算法和程序框图【分析】此框图为循环结构，故可运行几次寻找规律求解【解答】解：由程序框图可得： 第一次循环后 2第二次循环后 3第三次循环后 4观察规律可知的值为，可得：第九次循环后 10不满足条件，跳出循环则输出的为故选：【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图、归纳推理等知识属于基础题8（5分）已知点，是圆内的一点，直线是以为中点的弦所在直线，直线的方程为，那么A，且与圆相交B，且与圆相切C，且与圆相离D，且与圆相离【考点】：直线与圆的位置关系【专题】：直线与圆【分析】由在圆内，得到到圆心距离小于半径，利用两点间的距离公式列出不等式，由直线是以为中点的弦所在直线，利用垂径定理得到直线与直线垂直，根据直线的斜率求出直线的斜率，再表示出直线的斜率，发现直线与斜率相同，可得出两直线平行，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，利用得出的不等式变形判断出大于，即可确定出直线与圆相离【解答】解：点，在圆内，直线直线，直线的斜率，圆心到直线的距离，与圆相离故选：【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两直线垂直、平行时直线斜率满足的关系，直线与圆的位置关系由与的大小来判断，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切（其中为圆心到直线的距离，为圆的半径）9（5分）九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图中如图所示，已知该几何体的体积为，则图中A1BC2D【考点】：由三视图求面积、体积【专题】31：数形结合；49：综合法；：空间位置关系与距离【分析】如图所示，由已知中的三视图可得：该几何体是一个四棱锥与三棱柱的组合体，其直观图如下图所示，分别利用体积计算公式即可得出【解答】解：如图所示，由已知中的三视图可得：该几何体是一个四棱锥与三棱柱的组合体，其直观图如下图所示：该几何体的体积为，解得故选：【点评】本题考查了四棱锥与三棱柱的三视图与体积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题10（5分）已知函数的最大值为2，且满足，则ABC或D或【考点】：两角和与差的三角函数【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；57：三角函数的图象与性质【分析】化简函数的解析式为 一个角的一个三角函数的形式，利用函数的对称轴以及函数的最大值求出，与的值【解答】解：函数，其中由三角函数的性质可知，函数的周期是，由函数满足，得知函数关于对称，函数在轴右侧的第一个最大值为时取得，的最大值为2，可得：，当时，（舍去），或，可得；当时，可得：，由，故选：【点评】本题考查三角函数的性质，求得是关键，考查正弦函数的对称性，考查分析、转化与运用三角知识解决问题的能力，属于中档题11（5分）已知点，是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若，则的最小值为A3BCD4【考点】：抛物线的性质【专题】15：综合题；34：方程思想；：演绎法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设，由，运用余弦定理可得，运用抛物线的定义和中位线定理可得，运用基本不等式计算即可得到所求最小值【解答】解：抛物线的焦点，准线为，设，由，可得，由抛物线的定义可得到准线的距离为，到准线的距离为，由梯形的中位线定理可得，由，可得，可得，当且仅当时，取得最小值3，故选：【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查余弦定理和基本不等式的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题12（5分）设是函数的导函数，且，为自然对数的底数），则不等式的解集为ABCD【考点】：利用导数研究函数的单调性【专题】15：综合题；33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用【分析】构造函数，求出导数，判断在上递增原不等式等价为，运用单调性，可得，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集【解答】解：可构造函数，由，可得，即有在上递增不等式即为，即，即有，即为，由在上递增，可得，解得故不等式的解集为，故选：【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查构造法的运用，以及单调性的运用，对数不等式的解法，属于中档题二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上）13（5分）已知向量，的夹角为，则【考点】：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【专题】11：计算题；：平面向量及应用【分析】先计算出向量的模，再将所求问题转换为平方运算【解答】解：故答案为：【点评】本题考查平面向量数量积的坐标表示、模14（5分）已知，则【考点】：两角和与差的三角函数【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值【分析】利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角和的余弦公式求得的值【解答】解：，则，故答案为：【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于基础题15（5分）已知的内角，的对边分别为，若，且的面积为，则的周长为【考点】：三角形中的几何计算【专题】34：方程思想；49：综合法；58：解三角形【分析】由题意得：解得，得【解答】解：由题意得：解得：，即的周长为故答案为：【点评】本题考查的周长的求法，解题时要注意余弦定理的合理运用属基础题16（5分）已知，是半径为2的球面上的点，点在上的射影为，则三棱锥体积的最大值是【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离【分析】在平面上的射影为的外心，即为中点，球的球心在的延长线上，设，则，求出，则，过作于，设，则，设，由，得，从而，则，令，则，利用导数性质能求出三棱锥体积的最大值【解答】解：如图，根据题意得，是半径为2的球面上的点，点在上的射影为，在平面上的射影为的外心，即为中点，则球的球心在的延长线上，设，则，即，解得，则，过作于，设，则，设，由，得，解得，则，令，则，由，得，当时，面积的最大值为，三棱锥体积的最大值为故答案为：【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查几何体性质、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）已知等差数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【考点】：数列的求和【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式（2）利用裂项相消法求出数列的和【解答】解：（1）设公差为的等差数列的前项和为，且，则有：，解得：，所以：（2）由于：，所以：，则：，则：，【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型18（12分）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，是的中点（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值【考点】：平面与平面平行；：直线与平面所成的角【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；：空间位置关系与距离；：空间角【分析】（）连接交于，则是的中点连结，则，从而面；由，得面有两条相交直线与面平行，由此能证明面面（）以为坐标原点，分别以、为、轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与面成的角的正弦值【解答】解：（）连接交于，则是的中点，连结，是的中点，面，在面外，面；又，在面外，面，又与相交于点，面有两条相交直线与面平行，故面面（）如图，以为坐标原点，分别以、为、轴建立空间直角坐标系，则，0，设面的法向量为，依题意有，则，令，直线与面成的角的正弦值是【点评】本题考查面面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题19（12分）某保险公司对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为，三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000，6000，2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如表（并以此估计赔付概率） 工种类别 赔付频率 已知，三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元（1）求保险公司在该业务所或利润的期望值；（2）现有如下两个方案供企业选择：方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的，职工个人负责保费的，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议【考点】：离散型随机变量的期望与方差【专题】38：对应思想；49：综合法；：概率与统计【分析】（1）分别计算保险公司在三种工种的利润的数学期望，从而可得出保险公司的总利润期望；（2）分别计算两种方案的企业支出费用，从而得出结论【解答】解：（1）设工种、职工的每份保单保险公司的收益为随机变量、，则、的分布列为：2525 40 ，保险公司的利润的期望值为，保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元（2）方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为：，方案2：企业与保 险公司合作，则企业支出保险金额为：，建议企业选择方案2【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的计算，属于中档题20（12分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，为平面上的动点，且，线段的中垂线与线段交于点（1）求的值，并求动点的轨迹的方程；（2）若直线与曲线相交于，两点，且存在点（其中，不共线），使得，证明：直线过定点【考点】：轨迹方程【专题】38：对应思想；：圆锥曲线的定义、性质与方程；：设而不求法【分析】（1）由中垂线性质可知，根据椭圆性质得出点轨迹方程；（2）设，直线方程为，与椭圆方程联立方程，利用根与系数关系得出关系式，由可知，根据斜率公式化简即可得出，的关系，从而得出直线的定点坐标【解答】解：（1）由已知，依题意有：，故点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，即，故点的轨迹的方程为（2）令，因，不共线，故的斜率不为0，令的方程为：，则由得，则，即，整理得，而，代入得：，把代入得：，当时，得：，此时的方程为：，过定点当时，亦满足，此时的方程为：综上所述，直线恒过定点【点评】本题考查了椭圆的定义与性质，直线与椭圆的位置关系，考查中档题21（12分）已知函数（其中且为常数，为自然对数的底数，（）若函数的极值点只有一个，求实数的取值范围；（）当时，若（其中恒成立，求的最小值的最大值【考点】：利用导数研究函数的极值；：利用导数研究函数的最值【专题】16：压轴题；33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用【分析】（）先求导，再构造函数，再求导，根据导数和函数单调性和极值的关系，即可求出的范围，（）依题意得，令，则对，都有成立，求导，分类讨论，即可求出【解答】解：（）函数的定义域为，其导数为由或，设，当时，；当时，即在区间上递增，在区间上递减，又当时，当时，且恒成立当或时，方程无根，函数只有一个极值点当时，方程的根也为，此时的因式恒成立，故函数只有一个极值点当时，方程有两个根、且，函数在区间单调递减；，单调递增；单调递减；，单调递增，此时函数有、1、三个极值点综上所述，当或时，函数只有一个极值点（）依题意得，令，则对，都有成立，当时，函数在上单调递增，注意到，若，有成立，这与恒成立矛盾；当时，因为在上为减函数，且，函数在区间上单调递增，在上单调递减，若对，都有成立，则只需成立，当时，则的最小值，函数在上递增，在上递减，即的最小值的最大值为；综上所述，的最小值的最大值为【点评】本题考查了