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第二章,静力学基本概念,1,21力的概念22静力学公理23力矩与力偶24力在坐标轴上的投影25力的平移定理,2,刚体是一种理想化的力学模型。,一个物体能否视为刚体，不仅取决于变形的大小，而且和问题本身的要求有关。,2、刚体在外界的任何作用下形状和大小都始终保持不变的物体。或者在力的作用下，任意两点间的距离保持不变的物体。,1、平衡平衡是物体机械运动的特殊形式，是指物体相对地球处于静止或匀速直线运动状态。,3、力力是物体相互间的机械作用，其作用结果使物体的形状和运动状态发生改变。,21力的概念,3,力的表示法,力是一矢量，用数学上的矢量记号来表示，如图。,F,力的单位,在国际单位制中，力的单位是牛顿(N)1N=1公斤米/秒2（kgm/s2)。,21力的概念,4,四、力系、合力与分力,力系作用于同一物体或物体系上的一群力。,等效力系对物体的作用效果相同的两个力系。,平衡力系能使物体维持平衡的力系。,合力在特殊情况下，能和一个力系等效的一个力。,21力的概念,分力力系中各个力。,5,公理一(二力平衡公理),要使刚体在两个力作用下维持平衡状态，必须也只须这两个力大小相等、方向相反、沿同一直线作用。,公理二(加减平衡力系公理),可以在作用于刚体的任何一个力系上加上或去掉几个互成平衡的力，而不改变原力系对刚体的作用。,22静力学公理,6,推论(力在刚体上的可传性),作用于刚体的力，其作用点可以沿作用线在该刚体内前后任意移动，而不改变它对该刚体的作用,=,=,22静力学公理,7,公理三(力平行四边形公理)作用于物体上任一点的两个力可合成为作用于同一点的一个力，即合力。合力的矢由原两力的矢为邻边而作出的力平行四边形的对角矢来表示。,F1,F2,R,矢量表达式：R=F1+F2,即，合力为原两力的矢量和。,22静力学公理,8,推论(三力汇交定理)当刚体在三个力作用下平衡时，设其中两力的作用线相交于某点，则第三力的作用线必定也通过这个点。,F1,F3,R1,F2,=,证明：,A3,22静力学公理,9,公理四(作用和反作用公理)任何两个物体间的相互作用的力，总是大小相等，作用线相同，但指向相反，并同时分别作用于这两个物体上。,22静力学公理,10,一、力矩的定义力F的大小乘以该力作用线到某点O间距离d，并加上适当正负号，称为力F对O点的矩。简称力矩。,2-3力矩与力偶,二、力矩的表达式:三、力矩的正负号规定：当有逆时针转动的趋向时，力F对O点的矩取正值。四、力矩的单位：与力偶矩单位相同，为N.m。,11,五、力矩的性质：1、力沿作用线移动时，对某点的矩不变,2、力作用过矩心时，此力对矩心之矩等于零,3、力矩的值与矩心位置有关，同一力对不同的矩心，其力矩不同。,2-3力矩与力偶,12,4、力矩的解析表达式,2-3力矩与力偶,力对某点的矩等于该力沿坐标轴的分力对同一点之矩的代数和,13,2-3力矩与力偶,六、力偶和力偶矩,1、力偶大小相等的二反向平行力。,、作用效果：只引起物体的转动。、力和力偶是静力学的二基本要素。,力偶特性二：力偶无合力，即力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡，力偶只能与另一力偶平衡。,力偶特性一：力偶在任何坐标轴上的投影等于零。力偶对物体只产生转动效应，不产生移动效应。,14,工程实例,2-3力矩与力偶,15,2、力偶臂力偶中两个力的作用线之间的距离。,3、力偶矩力偶中任何一个力的大小与力偶臂d的乘积，加上适当的正负号。,力偶矩正负规定：若力偶有使物体逆时针旋转的趋势，力偶矩取正号；反之，取负号。,量纲：力长度，牛顿米（Nm）.,2-3力矩与力偶,16,八、力偶的等效条件,同一平面上力偶的等效条件,2-3力矩与力偶,因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。,作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等效的充要条件是二者的力偶矩大小值相等，转向相同。,17,2-3力矩与力偶,推论1力偶可在其作用面内任意移动，而不改变它对刚体的效应。推论2只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。九、力偶系、平面力偶系1定义：2平面力偶系可合成一个合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩之和。,18,十、力对点的矩与力偶矩的区别：相同处：力矩的量纲与力偶矩的相同。,不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而改变，但一个力偶的矩是常量。,联系：力偶中的两个力对任一点的之和是常量，等于力偶矩。,2-3力矩与力偶,19,反之，当投影X、Y已知时，则可求出力F的大小和方向：,2-4力在坐标轴的投影,一、力在坐标轴上的投影：,正负规定：投影起点至终点的指向与坐标轴正向一致，规定为正，反之为负。,A,20,注意：投影与分力不是同一概念。力的投影X,Y是代数量，分力是矢量。,2-4力在坐标轴的投影,21,合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和。,证明：以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力F1、F2、F3如图。,二、合力投影定理：,2-4力在坐标轴上的投影,22,合力R在x轴上投影：,F1,F2,R,F3,x,A,B,C,D,(b),推广到任意多个力F1、F2、Fn组成的平面共点力系，可得：,各力在x轴上投影：,2-4力在坐标轴上的投影,23,32,=,=,作用于刚体上某点力F，可以平行移动到刚体上任意一点，但须同时附加一个力偶，此附加力偶的矩等于原力F对新作用点的矩。证明：,一、力的平移定理：,2-5力的平移定理,24,二、几个性质：1、当力平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位置的不同而不同。2、力平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力大小相等的平行力。3、力平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。,2-5力的平移定理,25,物体的受力分析结构的计算简图,第三章,26,31约束与约束反力32物体的受力分析及受力图33结构的计算简图,27,31约束与约束反力,自由体：位移不受限制的物体。非自由体：位移受到限制的物体。约束：限制非自由体运动的其他物体。约束反力：约束对被约束体的反作用力主动力：约束力以外的力。,28,31约束与约束反力,29,31约束与约束反力,柔索约束柔绳、链条、胶带构成的约束,30,31约束与约束反力,柔索只能受拉力，又称张力。用表示。柔索对物体的约束力沿着柔索背向被约束物体。胶带对轮的约束力沿轮缘的切线方向，为拉力。,31,31约束与约束反力,32,31约束与约束反力,光滑接触面约束,33,31约束与约束反力,光滑支承接触对非自由体的约束力，作用在接触处；方向沿接触处的公法线并指向受力物体，故称为法向约束力，用表示。,34,31约束与约束反力,光滑铰链约束此类约束简称铰链或铰径向轴承、圆柱铰链、固定铰链支座等（1）、径向轴承（向心轴承）,35,31约束与约束反力,36,31约束与约束反力,约束特点：轴在轴承孔内，轴为非自由体、轴承孔为约束。约束力：当不计摩擦时，轴与孔在接触为光滑接触约束法向约束力。约束力作用在接触处，沿径向指向轴心。当外界载荷不同时，接触点会变，则约束力的大小与方向均有改变。,37,31约束与约束反力,可用二个通过轴心的正交分力表示。（2）、光滑圆柱铰链约束特点：由两个各穿孔的构件及圆柱销钉组成，如剪刀。,38,31约束与约束反力,39,31约束与约束反力,光滑圆柱铰链：亦为孔与轴的配合问题，与轴承一样，可用两个正交分力表示。其中有作用反作用关系一般不必分析销钉受力，当要分析时，必须把销钉单独取出。,40,31约束与约束反力,支座约束（1）固定铰支座,FN,FNY,FNX,41,31约束与约束反力,约束特点：由上面构件1或2之一与地面或机架固定而成。约束力：与圆柱铰链相同,42,31约束与约束反力,（2）活动铰支座,FN,FN,43,31约束与约束反力,约束特点：在上述固定铰支座与光滑固定平面之间装有光滑辊轴而成。约束力：构件受到光滑面的约束力。,44,31约束与约束反力,（3）固定端支座端嵌固在墙内，墙壁对梁的约束是既限制它沿任何方向移动，又限制它的转动，这样的约束称为固定端支座，简称固定支座。,45,31约束与约束反力,=,=,=,46,31约束与约束反力,（4）定向支座（滑动铰支座）,47,31约束与约束反力,链杆约束链杆是两端用铰与其他构件相连，不计自重且中间不受力的杆件。,48,31约束与约束反力,由于链杆只在两个铰处受力，因此为二力构件,49,32物体的受力分析及受力图,确定构件受了几个力，每个力的作用位置和力的作用方向，这种分析过程称为物体的受力分析。,50,在受力图上应画出所有力，主动力和约束力（被动力）画受力图步骤：1、取所要研究物体为研究对象（隔离体）画出其简图2、画出所有主动力3、按约束性质画出所有约束（被动）力,32物体的受力分析及受力图,51,例1-1,32物体的受力分析及受力图,碾子重为P，拉力为F,A,B处光滑接触，画出碾子的受力图。,解：画出简图,画出主动力,画出约束力,52,例1-3水平均质梁AB重为，电动机重为，不计杆CD的自重，画出杆CD和梁AB的受力图。图(a),32物体的受力分析及受力图,解：取CD杆，其为二力构件，简称二力杆，其受力图如图(b),53,32物体的受力分析及受力图,取AB梁，其受力图如图(c),杆的受力图能否画为图（d）所示？,若这样画，梁AB的受力图又如何改动?,54,例1-4,32物体的受力分析及受力图,不计三铰拱桥的自重与摩擦，画出左、右拱AC,CB的受力图与系统整体受力图。,解：右拱CB为二力构件，其受力图如图（b）所示,55,32物体的受力分析及受力图,取左拱AC,其受力图如图（c）所示,系统整体受力图如图（d）所示,56,32物体的受力分析及受力图,考虑到左拱AC在三个力作用下平衡，也可按三力平衡汇交定理画出左拱AC的受力图，如图（e）所示,此时整体受力图如图（f）所示,57,例15,32物体的受力分析及受力图,不计自重的梯子放在光滑水平地面上，画出绳子、梯子左右两部分与整个系统受力图。图(a),解：绳子受力图如图（b）所示,58,32物体的受力分析及受力图,梯子左边部分受力图如图（c）所示,梯子右边部分受力图如图（d）所示,59,32物体的受力分析及受力图,整体受力图如图（e）所示,60,第四章,力系的平衡方程及应用,61,4-1平面一般力系向一点简化主矢主矩4-2平面一般力系的平衡方程4-3平面汇交力系的平衡方程4-4平面平行力系的平衡方程4-5物体系统的平衡,62,4-1-1概念平面力系:凡各力的作用线都在同一平面内的力系平面汇交力系:在平面力系中,各力作用线交于一点的力系平面平行力系:各力作用线互相平行的力系平面一般力系:各力作用线任意分布的力系,41平面一般力系向一点简化,63,4-1-2平面一般力系向作用面内任一点的简化,问题：,力的作用线本身是否可以平移？如果平移，会改变其对刚体的作用效应吗？,P,O,假设点P作用力F，今在同一刚体上某点O，沿与力F平行方向施加一对大小相等（等于F）、方向相反的力,主矢和主矩,显然，这一对力并不改变力F对刚体的作用效果,为什麽？,41平面一般力系向一点简化,64,我们可以将这3个力构成的力系视为一对力偶,和1个作用于点O的力,结论：一个刚体受到复杂力系作用时，可以将它们向某一点简化，从而得到一个合力和一个合力矩，该点称为简化中心设力系对O点的简化结果为：,41平面一般力系向一点简化,65,4-1-3平面力系简化结果讨论：,已经分析，平面力系总可以简化为一个主矢和一个主矩,可能有以下几种情况：,称该力系平衡,该力系等效一个合力偶,该力系等效一个合力,仍然可以继续简化为一个合力,4-1平面一般力系向一点简化,66,4-1-2平面力系简化结果讨论：,仍然可以继续简化为一个合力,O,O,O,O,O,只要满足：,4-1平面一般力系向一点简化,67,4-2-1平面一般力系的平衡方程条件及基本形式,已经分析，平面一般力系向任一点简化可以得到一个主矢和一个主矩如果主矢和主矩都等于零表明简化后的汇交力系和附加力偶系都自成平衡,则原力系一定平衡主矢和主矩都等于零是平衡面一般力系平衡的充分条件反之,如果主矢中有一个力或两个力不为零时,原力系中成为一个合力或一个力偶,力系就不平衡,所以,主矢和主矩都等于零也是力系平衡的必要条件,4-2平面一般力系的平衡方程,68,平面一般力系平衡的必要和充分条件是:主矢和主矩都等于零,即:,平面一般力系的平衡方程:,1、一般形式：,4-2平面一般力系的平衡方程,69,平面一般力系平衡的必要和充分条件可称述为:力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和都等于零;力系中所有各力对于任一点的力矩的代数和等于零,4-2平面一般力系的平衡方程,70,4-2-2平面方程的其他形式:,二力矩形式的平衡方程:,三力矩形式的平衡方程:,条件是：AB两点的连线不能与x轴或y轴垂直,条件是：ABC三点不能共线,4-2平面一般力系的平衡方程,71,4-3-1平面汇交力系的平衡方程:,平面汇交力系平衡的解析条件是:力系中所有各力在任选的两个直角坐标轴上投影的代数和分别等于零,平面汇交力系是平面一般力系的一种特殊情况，由平面一般力系的平衡条件可知，平面汇交力系的平衡条件是：合力为零，即,4-3平面汇交力系的平衡方程,72,4-4-1平面平行力系的平衡方程:,平面汇交力系平衡的解析条件是:力系中所有各力在任选的两个直角坐标轴上投影的代数和分别等于零,4-4平面平行力系的平衡方程,73,4-5-1举例说明物体系平衡问题的解法:,例5-1图示两根梁由铰B连接，它们置于O，A，C三个支承上，梁上有一集度为q的均布载荷，一集中力F和一力偶矩M，求各个支承处的约束力。,受力分析主动力：分布载荷、集中力F、主动力矩M,4-5物体系统的平衡,74,第五章,平面体系的几何组成分析,75,5-1刚片自由度和约束的概念5-2几何不变体系的简单组成规则5-3瞬变体系5-4几何组成分析示例5-5结构的几何组成与静定性的关系,76,5-1刚片自由度和约束的概念,在土木或水利工程中，结构是用来支撑和传递荷载的，因此它的几何形状和位置必须是稳固的。具有稳固几何形状和位置的体系称为几何不变体系。反之，如体系的几何形状或位置可以或可能发生改变的，则称为几何可变体系。只有几何不变体系才能用于工程。基本假定：不考虑材料的变形,77,5-1刚片自由度和约束的概念,78,5-1刚片自由度和约束的概念,刚片是指平面体系中几何形状不变的平面体。在几何组成分析中，由于不考虑材料的变形，所以，每根梁、每一杆件或已知的几何不变部分均可视为刚片。支承结构的地基也可以看作是一个刚片。,79,n=2,平面内一点,5-1刚片自由度和约束的概念,体系的自由度是指该体系运动时，确定其位置所需的独立坐标的数目。,80,n=3,平面刚体刚片,地基是一个不动刚片，它的自由度为0,81,5-1刚片自由度和约束的概念,能够减少体系自由度的装置称为约束或联系。能减少几个自由度就叫做几个约束。常用的约束有链杆、铰（单铰、复铰）和刚结点。,82,一根链杆为一个联系,n=3,n=2,5-1刚片自由度和约束的概念,链杆是一根两端铰接于两个刚片的刚性杆件,83,1个单铰=2个联系,单铰联后n=4,每一自由刚片3个自由度两个自由刚片共有6个自由度,84,1连接n个刚片的复铰=(n-1)个单铰,n=5,复铰等于多少个单铰？,85,5-1刚片自由度和约束的概念,两个刚片和刚片在C连接为一个整体，结点称为一个刚结点,86,单刚结点,复刚结点,单链杆,复链杆,连接n个杆的复刚结点等于多少个单刚结点？,连接n个铰的复链杆等于多少个单链杆？,n-1个,2n-3个,87,一、杆件体系的计算自由度,W=（各部件的自由度总和）-（全部约束数）（2-1）,1一般平面体系,（2-2）,m体系刚片的个数（不包括地基），,g单刚结点个数,h单铰结点个数（刚片之间的单铰结点个数）,b包括支座链杆数,平面杆件体系的计算自由度,88,刚片自由度联系的概念,连四刚片h=3,连三刚片h=2,连两刚片h=1,3、铰支座、定向支座相当于两个支承链杆，固定端相三于个支承链杆。,注意：,1、复连接要换算成单连接。,2、刚接在一起的各刚片作为一大刚片。如带有a个无铰封闭框，约束数应加3a个。,89,2平面铰结链杆体系,j结构所有铰结点个数（包括支座铰接点）,b代表单链杆数（包括支座链杆数）,3内部可变度,当体系与基础不相连，只计算体系内各部分之间的相对运动自由度，不计入体系整体运动的3个自由度。,一般平面体系：,平面铰接体系：,90,例1：求图所示体系的计算自由度W。,方法1：此体系属于平面一般体系，m=7g=0h=9b=3,注意：连接n个刚片的铰相当于（n-1）个单铰,采用（2-2）式计算时，复刚结点与复铰结点应转换为单刚结点和单铰结点来计算。,91,注意：连接n个点的链杆相当于（2n-3）个单链杆。,方法二：此体系属于铰结体系，j=7，b=14。代入,得：,例1：求图所示体系的计算自由度W。,采用（2-3）式计算时：1、复链杆应转换为单链杆来计算；2、支座铰接点应计入j（即体系本身链杆的端点铰都应算作结点）。,92,解：此体系属于铰结体系,例2：求图所示体系的计算自由度W。,思考：按平面一般体系的公式（2-2）应该如何计算？,93,方法1：此体系属于一般体系，m=6g=4h=1b=4,方法2：此体系属于一般体系，只将ABCD、AEFG视为刚片m=2g=0h=1b=4,练习：计算W,94,二、计算自由度与几何组成的关系(了解),1.实际自由度S,S=（各部件的自由度总和）-（必要约束）（2-4）,2.多余约束数n,SW=n,3.W与几何组成性质的关系（P.17）,S=n+W,W0，表明体系缺少足够的联系，是几何可变的；W=0，表明体系具有成为几何不变所需的最少联系数目。W5)，上述公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。,6.公式适用范围：,1.矩形截面,III、三种典型截面对中性轴的惯性矩,2.实心圆截面,3.截面为外径D、内径d(a=d/D)的空心圆:,240,长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b120mm，h180mm、l2m，F1.6kN，试求B截面上a、b、c各点的正应力。,（压）,241,图示T形截面简支梁在中点承受集中力F32kN，梁的长度L2m。T形截面的形心坐标yc96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz1.02108mm4。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。,242,如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15kN作用。试计算截面B-B的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。,解：1确定截面形心位置选参考坐标系zoy如图示，将截面分解为I和II两部分，形心C的纵坐标为:,2计算截面惯性矩,243,3计算最大弯曲正应力截面BB的弯矩为:,在截面B的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其值分别为：,244,85梁横截面上的切应力切应力强度条件,一、矩形梁横截面上的切应力,1、公式推导：,弯曲应力,245,例6-3求图示矩形截面梁横截面上的切应力分布。,代入切应力公式：,解：将,切应力t呈图示的抛物线分布，在最边缘处为零,在中性轴上最大，其值为：,平均切应力,弯曲应力,246,二、工字形截面梁上的切应力,腹板上任一点处的可直接由矩形梁的公式得出：,式中：d为腹板厚度,三、薄壁环形截面梁上的切应力,假设：1、切应力沿壁厚无变化；2、切应力方向与圆周相切,式中：A为圆环截面面积,四、圆截面梁上的切应力,式中：A为圆截面面积,对于等直杆，最大切应力的统一表达式为：,弯曲应力,247,五、梁的切应力强度条件,与正应力强度条件相似，也可以进行三方面的工作：1、强度校核，2、截面设计，3、确定梁的许可荷载但通常用于校核。,特殊的：1、梁的最大弯矩小，而最大剪力大；2、焊接组合截面，腹板厚度与梁高之比小于型钢的相应比值；3、木梁因其顺纹方向的抗剪强度差。需进行切应力强度计算。,弯曲应力,248,例5-4T形梁尺寸及所受荷载如图所示,已知sy=100MPa，sL=50MPa，t=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2104mm4。求：1)C左侧截面E点的正应力、切应力；2)校核梁的正应力、切应力强度条件。,249,弯曲应力,该梁满足强度要求,250,一、合理配置梁的荷载和支座,1、将荷载分散,2、合理设置支座位置,梁的合理设计,弯曲应力,251,二、合理选取截面形状,从弯曲强度考虑，比较合理的截面形状，是使用较小的截面面积，却能获得较大抗弯截面系数的截面。在一般截面中，抗弯截面系数与截面高度的平方成正比。因此，当截面面积一定时，宜将较多材料放置在远离中性轴的部位。,面积相同时：工字形优于矩形，矩形优于正方形；环形优于圆形。,同时应尽量使拉、压应力同时达到最大值。,弯曲应力,252,三、合理设计梁的外形（等强度梁）,梁内不同横截面的弯矩不同。按最大弯矩所设计的等截面梁中，除最大弯矩所在截面外，其余截面的材料强度均末得到充分利用。因此，在工程实际中，常根据弯矩沿梁轴的变化情况，将梁也相应设计成变截面的。横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。,各个横截面具有同样强度的梁称为等强度梁，等强度梁是一种理想的变截面梁。但是，考虑到加工制造以及构造上的需要等，实际构件往往设计成近似等强的。,弯曲应力,253,85梁横截面上的切应力,254,一、矩形截面梁的切应力,假设：,1、横截面上的方向与FS平行,2、沿截面宽度是均匀分布的,Fs,255,256,Fs横截面上的剪力；,IZ截面对中性轴的惯性矩；,b截面的宽度；,SZ宽度线一侧的面积对中性轴的静矩.,257,矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。求max,max。,细长等值梁,258,二、工字形截面梁的切应力,横截面上的切应力(95-97)由腹板承担,而翼缘仅承担了(3-5),且翼缘上的切应力情况又比较复杂.为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力.,259,三、圆形和圆环形截面梁的最大切应力,A为圆环形截面面积,260,图示矩形截面简支梁受均布荷载作用，分别求最大剪力所在的截面上a、b、c三点处的切应力。,解（1）作出剪力图，最大剪力在A、B处的截面上；（2）各点处的切应力,261,262,图示外伸梁，荷载、T形截面对中性轴的惯性矩及形心位置已标在图上，试求梁的最大切应力。,解（1）作剪力图，可知危险截面在BC梁段上，（2）梁的最大切应力发生在梁段任意截面的中性轴处,263,T形梁尺寸及所受荷载如图所示,已知sy=100MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2104mm4。求：1)C左侧截面E点的正应力、切应力；,264,265,85平面应力状态的应力分析主应力,一、公式推导：,266,二、符号规定：,角,由x正向逆时针转到n正向者为正；反之为负。,正应力,切应力,使单元体或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。,267,某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x轴成300和600角，试求此二斜面ab和bc上的应力。,在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其的和为一常数。,268,主应力及最大切应力,由主平面定义，令t=0，得：,可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。,即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。,主应力大小：,由s、s、0按代数值大小排序得出：s1s2s3,269,极值切应力：,令：，可求出两个相差90o的a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。,极值切应力：,270,86应力集中的概念,应力集中程度与外形的骤变程度直接相关，骤变越剧烈，应力集中程度越剧烈。,静载下，塑性材料可不考虑，脆性材料（除特殊的，如铸铁）应考虑。动载下，塑性和脆性材料均需考虑。,理想应力集中系数:,其中：,-最大局部应力-名义应力（平均应力）,271,、几种对应关系,点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向面上的正应力和切应力；,转向对应半径旋转方向与斜截面法线旋转方向一致；,二倍角对应半径转过的角度是斜截面旋转角度的两倍。,272,点面对应,273,转向对应、二倍角对应,2,b,274,试用应力圆法计算图示单元体e-f截面上的应力。图中应力的单位为MPa。,275,对于图中所示之平面应力状态，若要求面内最大切应力max85MPa，试求x的取值范围。图中应力的单位为MPa。,276,主应力和主平面,切应力等于零的截面为主平面,主平面上的正应力称为主应力,277,已知矩形截面梁,某截面上的剪力Fs=120kN及弯矩M=10kNm.绘出表示1、2、3、4点应力状态的单元体，并求出各点的主应力。b=60mm,h=100mm.,1、画各点应力状态图,2、计算各点主应力,1点,2点,(处于纯剪状态),3点,(一般平面状态),4点,278,自受力构件内取一单元体,其上承受应力如图示,.试求此点的主应力及主平面.,ad面,db面是该点的主平面.,279,构件中某点为平面应力状态，两斜截面上的应力如图所示。试用应力圆求主应力和最大切应力,在应力圆上量取,280,平面应力状态的几种特殊情况,轴向拉伸压缩,281,平面应力状态的几种特殊情况,扭转,282,弯曲,平面应力状态的几种特殊情况,283,强度分析与计算,第八章,284,81容许应力与强度理论82轴向拉压杆的强度计算83连接件的强度计算84梁的正应力和切应力强度计算85梁的主应力强度计算86扭转杆的强度计算87组合变形杆的强度计算88提高构件弯曲强度的途径,285,81容许应力与强度理论,一：容许应力与安全系数,材料丧失工作能力称为失效，材料失效时的应力称为极限应力，记为。,构件在何在作用下产生的应力称为工作应力。最大工作应力所在的截面称为危险截面。,容许应力,286,塑性材料,脆性材料,工程中各类构件的安全系数均在相关设计规范中有所规定,287,强度理论,第一强度理论,第二强度理论,第三强度理论,第四强度理论,288,第一强度理论（最大拉应力理论）,使材料发生断裂破坏的主要因素是最大主拉应力1，只要1达到单向拉伸时材料的强度极限b材料将要断裂破坏。,破坏条件,强度条件,该理论与均质的脆性材料的实验结果吻合较好.,289,第二强度理论（最大伸长线应变理论）,当材料的最大伸长线应变1达到材料单向受拉破坏时的线应变b=b/E时，材料将要发生断裂破坏。,破坏条件,强度条件,该理论只与少数脆性材料的实验结果吻合.,290,第三强度理论（最大切应力理论）,最大切应力是使材料发生屈服破坏的根本原因只要最大切应力max达到材料单向受力时的屈服极限s所对应的极限切应力s=s/2，材料将发生屈服（剪断）破坏.,破坏条件,强度条件,291,第四强度理论（能量理论）,形状改变比能是引起材料屈服破坏的基本原因只要复杂应力状态下材料形状改变比能达到单向受力情况屈服破坏时相应的极限形状改变比能，材料就会发生屈服破坏。,破坏条件,强度条件,第三强度理论偏于安全,第四强度理论偏于经济,292,在大多数应力状态下,脆性材料将发生脆性断裂.因而应选用第一强度理论;而在大多数应力状态下,塑性材料将发生屈服和剪断.故应选用第三强度理论或第四强度理论.但材料的破坏形式不仅取决于材料的力学行为,而且与所处的应力状态,温度和加载速度有关.实验表明,塑性材料在一定的条件下(低温和三向拉伸),会表现为脆性断裂.脆性材料在三向受压表现为塑性屈服.,293,已知铸铁构件上危险点处的应力状态，如图所示。若铸铁拉伸许用应力为30MPa，试校核该点处的强度是否安全。,第一强度理论,294,某结构上危险点处的应力状态如图所示，其中116.7MPa，46.3MPa。材料为钢，许用应力160MPa。试校核此结构是否安全。,第三强度理论,第四强度理论,295,对图示的纯剪切应力状态，试按强度理论建立纯剪切状态下的强度条件，并导出剪切许用应力与拉伸许用应力之间的关系。,K,单元体纯剪切强度条件,第一强度理论,第二强度理论,对于铸铁:,第三强度理论,第四强度理论,对于脆性材料:,对于塑性材料:,296,在大多数应力状态下,脆性材料将发生脆性断裂.故应选用第一强度理论;而在大多数应力状态下,塑性材料将发生屈服和剪断.故应选用第三强度理论或第四强度理论.但材料的破坏形式不仅取决于材料的力学行为,而且与所处的应力状态,温度和加载速度有关.实验表明,塑性材料在一定的条件下(低温和三向拉伸),会表现为脆性断裂.脆性材料在一定的应力状态(三向受压)下,会表现出塑性屈服或剪断.,工程上常见的断裂破坏主要有三种类型:,无裂纹结构或构件的突然断裂.,由脆性材料制成的构件在绝大多数受力情形下都发生突然断裂,如受拉的铸铁,砼等构件的断裂.,具有裂纹构件的突然断裂.,这类断裂经常发生在由塑性材料制成的,且由于各种原因而具有初始裂纹的构件.,构件的疲劳断裂.,构件在交变应力作用下,即使是塑性材料,当经历一定次数的应力交变之后也会发生脆性断裂.,297,现有两种说法：（1）塑性材料中若某点的最大拉应力max=s，则该点一定会产生屈服；（2）脆性材料中若某点的最大拉应力max=b，则该点一定会产生断裂，根据第一、第四强度理论可知，说法().,A.（1）正确、（2）不正确；,B.（1）不正确、（2）正确；,C.（1）、（2）都正确；,D.（1）、（2）都不正确。,B,298,铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀而被胀裂，而管内的冰却不会破坏。这是因为（）。,A.冰的强度较铸铁高；,B.冰处于三向受压应力状态；,C.冰的温度较铸铁高；,D.冰的应力等于零。,B,299,若构件内危险点的应力状态为二向等拉，则除（）强度理论以外，利用其他三个强度理论得到的相当应力是相等的。,A.第一；,B.第二；,C.第三；,D.第四；,B,300,82轴向拉压杆的强度计算,1.拉压杆的强度条件,强度条件,强度计算的三类问题：,(1)、强度校核,(2)、截面设计,(3)、确定许用荷载,301,圆截面等直杆沿轴向受力如图示，材料为铸铁，抗拉许用应力60Mpa，抗压许用应力120MPa，设计横截面直径。,20KN,例题1,30KN,302,图示三角形托架，AC为刚性杆，BD为斜撑杆，荷载F可沿水平梁移动。为使斜撑杆重量为最轻，问斜撑杆与梁之间夹角应取何值？不考虑BD杆的稳定。,例题2,设F的作用线到A点的距离为x,x,取ABC杆为研究对象,FNBD,BD杆：,303,剪切：位于两力间的截面发生相对错动,受力特点：作用在构件两侧面上的外力的合力大小相等、方向相反、作用线相距很近。,F,F,FsA,83连接件的强度计算,304,在计算中，要正确确定有几个剪切面，以及每个剪切面上的剪力。,305,判断剪切面和挤压面应注意的是：,剪切面是构件的两部分有发生相互错动趋势的平面,挤压面是构件相互压紧部分的表面,306,图示钢板铆接件，已知钢板拉伸许用应力98MPa，挤压许用应力bs196MPa，钢板厚度10mm，宽度b100mm，铆钉直径d17mm，铆钉许用切应力137MPa，挤压许用应力bs314MPa。若铆接件承受的载荷FP23.5kN。试校核钢板与铆钉的强度。,307,拉伸强度,308,挤压强度,309,剪切强度（对于铆钉）,310,图示木杆接头，已知轴向力F50kN，截面宽度b250mm，木材的顺纹挤压容许应力bs10MPa，须纹许用切应力1MPa。试根据剪切和挤压强度确定接头的尺寸L和a。,311,弯曲应力,例2已知16号工字钢Wz=141cm3，l=1.5m，a=1m，s=160MPa，E=210GPa，在梁的下边缘C点沿轴向贴一应变片，测得C点轴向线应变,求F并校核梁正应力强度。,312,84梁横截面上的切应力切应力强度条件,一、矩形梁横截面上的切应力,1、公式推导：,弯曲应力,313,例3求图示矩形截面梁横截面上的切应力分布。,代入切应力公式：,解：将,切应力t呈图示的抛物线分布，在最边缘处为零,在中性轴上最大，其值为：,平均切应力,弯曲应力,314,二、工字形截面梁上的切应力,腹板上任一点处的可直接由矩形梁的公式得出：,式中：d为腹板厚度,三、薄壁环形截面梁上的切应力,假设：1、切应力沿壁厚无变化；2、切应力方向与圆周相切,式中：A为圆环截面面积,四、圆截面梁上的切应力,式中：A为圆截面面积,对于等直杆，最大切应力的统一表达式为：,弯曲应力,315,五、梁的切应力强度条件,与正应力强度条件相似，也可以进行三方面的工作：1、强度校核，2、截面设计，3、确定梁的许可荷载但通常用于校核。,特殊的：1、梁的最大弯矩小，而最大剪力大；2、焊接组合截面，腹板厚度与梁高之比小于型钢的相应比值；3、木梁因其顺纹方向的抗剪强度差。需进行切应力强度计算。,弯曲应力,316,拉压强度相等材料：,拉压强度不等材料：,根据强度条件可进行：,85梁的正应力强度条件,弯曲应力,1、强度校核:,2、截面设计:,3、确定梁的许可荷载:,317,例4T形梁尺寸及所受荷载如图所示,已知sy=100MPa，sL=50MPa，t=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2104mm4。求：1)C左侧截面E点的正应力、切应力；2)校核梁的正应力、切应力强度条件。,318,弯曲应力,该梁满足强度要求,319,87组合变形杆强度计算,一、组合变形的概念,1.组合变形：构件同时存在两种以上基本变形,2.分类-两个平面弯曲的组合(斜弯曲)拉伸(或压缩)与弯曲的组合，以及偏心拉、压扭转与弯曲或扭转与拉伸(压缩)及弯曲的组合,3.一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯曲为主，其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯曲剪应力。,320,用强度准则进行强度计算,1.叠加原理：在线弹性、小变形下，每一组载荷引起的变形和内力不受彼此影响，可采用代数相加；,二、基本解法(叠加法),2.基本解法：,外力分解或简化：使每一组力只产生一个方向的一种基本变形,分别计算各基本变形下的内力及应力,将各基本变形应力进行叠加(主要对危险截面危险点),对危险点进行应力分析(s1s2s3),321,平面弯曲：对于横截面具有对称轴的梁，当横向外力或外力偶作用在梁的纵向对称面内时，梁发生对称弯曲。这时，梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线。,斜弯曲：双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内同时承受横向外力作用的情况，这时梁分别在水平纵对称面和铅垂纵对称面内发生对称弯曲。（也称为两个相互垂直平面内的弯曲）,三两相互垂直平面内的弯曲,322,在梁的任意横截面mm上，由P1和P2引起的弯矩值依次为：,在梁的任意横截面mm上任一点，与My和Mz对应的正应力依次为：,上式即为双对称截面梁在两相互垂直平面内发生对称弯曲(斜弯曲）时正应力的计算公式。,323,式中，Iy和Iz分别为横截面对于两对称轴y和z的惯性矩；My和Mz分别是截面上位于水平和铅垂对称平面内的弯矩，且其力矩矢量分别与y轴和z轴的正向相一致。在具体计算中，也可以先不考虑弯矩My、Mz和坐标y、z的正负号，以它们的绝对值代入，然后根据梁在P1和P2分别作用下的变形情况，来判断上式右边两项的正负号。,为确定横截面上最大正应力点的位置，应先求截面上的中性轴位置。由于中性轴上各点处的正应力均为零，令y0、z0代表中性轴上任一点的坐标，则由上式可得中性轴的方程为：,由上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线。它与y轴的夹角为：,324,式中角度是横截面上合成弯矩M矢量与y轴间的夹角。一般情况下，由于截面的Iy不等于Iz，因而中性轴与合成弯矩M所在的平面并不相互垂直。并由于截面的挠度垂直于中性轴，所以挠曲线将不在合成弯矩所在的平面内。故这种弯曲称为斜弯曲。,在确定中性轴的位置后，作平行于中性轴的两直线，分别与横截面周边相切于D1、D2两点，该两点即分别为横截面上拉应力和压应力为最大的点。将两点的坐标(y，z)分别代人，就可得到横截面上的最大拉、压应力。,对于工程中常用的矩形、工字形等截面梁，其横截面都有两个相互垂直的对称轴，且截面的周边具有棱角，故横截面上的最大正应力必发生在截面的棱角处。于是，可根据梁的变形情况，直接确定截面上最大泣、压应力点的位置，而无需定出其中性轴。,325,在确定了梁的危险截面和危险点的位置，并算出危险点处的最大正应力后，由于危险点处是单轴应力状态，于是，可将最大正应力与材料的许用正应力相比较来建立强度条件，进行强度计算。至于横截面上的剪应力，一般因其数值都比较小，故在强度计算中可不必考虑。,例120a号工字钢悬臂梁受集度为q的均布荷载和集中力P=qa/2作用，如图所示。已知钢的许用弯曲正应力o=160MPa，a1m。试求此梁的许可荷载集度q。,326,解：将自由端B截面上的集中力沿两主轴分解，并分别绘出两个主轴平面内的弯矩图。,由型钢表查得20a号工字钢的抗弯截面系数Wz和Wy值分别为：,根据工字钢截面Wz不等于Wy的特点并结合内力图情况，可按叠加原理分别算出A截面及D截面上的最大拉伸应力，即：,由此可见，该梁的危险点在固定端A截面的棱角处。由于危险点处是单轴应力状态，故可将最大弯曲正应力与许用弯曲正应力相比较来建立强度条件，即:,解得：,327,例2一铸铁悬臂梁受集度为q=15kNm的均布荷载作用，如图所示。已知铸铁的许用拉应力40MPa，许用压应力c=160MPa，梁的截面尺寸为d160mm，b=70mm，h110mm。试核核此梁的强度，并绘出危险截面上的正应力变化图。,解：该梁横截面具有两个对称袖，但因荷载作用面与纵向对称面间有-300的夹角，故此梁为非对称弯曲。求解方法是先将荷载沿两主轴分解为：,该梁在qy和qz作用下，将分别以z轴和y轴为中性轴发生对称弯曲危险截面上的弯矩值为,328,由于该梁横截面无外棱角，要求得危险截面上的最大拉应力和最大压应力，须确定中性轴和位置,作平行于中性轴的两条直线分别与横截面周边相切于D1和D2，该两点即为斜弯曲时横截面上最大拉应力和最大压应力点。,绘出了此粱分别以z轴和y轴为中性轴对称弯曲时的正应力变化规律，可以看出，D1点均处于拉应力而D2点均处于压应力。因此，按两个对称弯曲叠加后的D1点即为该截面上的最大拉应力点，而D2点为最大压应力点。,该梁能满足正应力强度条件,329,弯曲与拉伸（压缩）组合变形：当杆上的外力除横向力外，还受有轴向拉（压）力时，所发生的组合变形。,（一）、计算方法：,1.分别计算轴向力引起的正应力和横向力引起的正应力；,2.按叠加原理求正应力的代数和，即可。,（二）、注意事项：,1.如果材料许用拉应力和许用压应力不同，且截面部分区域受拉，部分区域受压，应分别计算出最大拉应力和最大压应力，并分别按拉伸、压缩进行强度计算。,2.如果横向力产生的挠度与横截面尺寸相比不能忽略，则轴向力在横截面上引起附加弯矩DM=Py亦不能忽略，这时叠加法不能使用，应考虑横向力与轴向力之间的相互影响。,四拉伸(压缩)与弯曲组合变形,330,例3图示起重机的最大吊重P=12kN，材料许用应力s=100MPa，试为AB杆选择适当的工字梁。,解：(1)根据AB杆的受力简图，由平衡条件，得：,(2)作AB杆的弯矩图和轴力图：C点左截面上，弯矩为极值而轴力与其它截面相同，故为危险截面。,(3)计算时暂不考虑轴力影响，只按弯曲正应力强度条件确定工字梁的抗弯截面模量，有：,(4)查型钢表，选取W=141cm3的16号工字梁，然后按压弯组合变形进行校核。易知，在C截面下缘的压应力最大，且有：,最大压应力略小于许用应力，说明选取16号工字梁是合适的。,331,332,例4图示压力机，最大压力P=1400kN，机架用铸铁作成，许用拉应力sL=35MPa，许用压应力sy=140MPa，试校核该压力机立柱部分的强度。立柱截面的几何性质如下：yc=200mm，h=700mm，A=1.8105mm2，Iz=8.0109mm4。,在偏心拉力P作用下横截面上的内力及各自产生的应力如图：最大组合正应力发生在截面内、外侧边缘a、b处，其值分别为,解：由图可见，载荷P偏离立柱轴线，其偏心距为：e=yc+500=200+500=700mm。,可见，立柱符合强度要求。,333,334,（一）、单向弯曲与扭转组合变形,1.引例：以钢制摇臂轴为例。,外力向形心简化(建立计算模型)：作弯矩、扭矩图(找危险截面)：由弯矩图知：A截面|M|max；全梁Mn处处相同，A截面为危险截面：,危险截面的危险点：A截面K1、K2点，t、s数值均为最大，K1、K2点均为危险点：,K2点：,K1点：,五弯曲与扭转组合变形,335,336,对危险点进行应力分析：(从K1、K2点取单元体，因它们的s、t数值分别相同，危险程度也相同，不妨取K1点研究)：,进行强度计算：(圆轴：Wn=2Wz),2.讨论：,公式1)、3)可用于一般构件中只有一对s的平面应力状态；,公式2)、4)只能用于圆轴单向弯扭变形。,（二）、双向弯曲和扭转强度计算(基本步骤与前相同),337,例5图示皮带轮传动轴，传递功率N=7kW，转速n=200r/min。皮带轮重量Q=1.8kN。左端齿轮上啮合力Pn与齿轮节圆切线的夹角(压力角)为20o。轴材料的许用应力s=80MPa，试按第三强度理论设计轴的直径。,解：外力简化(建立计算模型)：外力向AB轴轴线简化，