第三章函数的凹凸性与拐点_第1页
第三章函数的凹凸性与拐点_第2页
第三章函数的凹凸性与拐点_第3页
第三章函数的凹凸性与拐点_第4页
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.,函数的凹凸性及拐点,.,a,x,y,o,a,o,x,y,(1),(1),(2),观察图1、2中的两条曲线,图1中的曲线是向下鼓鼓地增，而图2中的曲线是向上鼓鼓地增,看看函数y=f(x)的导数有什么变化？,x1,x2,x1,x2,y=f(x),y=f(x),.,a,x,y,o,(3),观察图3、4中的两条曲线,a,x,y,o,(4),图3中的曲线是向下鼓鼓地减，而图4中的曲线是向上鼓鼓地减,看看函数y=f(x)的导数有什么变化？,x1,x2,x1,x2,.,定义1:设函数y=f(x)在某区间I内可导;若f(x)在区间I内是递增的，则曲线y=f(x)在I内是凹的。区间I称为凹区间，用符号“”表示。若f(x)在区间I内是递减的，则曲线y=f(x)在I内是凸的。区间I称为凸区间，用符号“”表示。,定义2:设函数y=f(x)在某区间I内连续，则曲线y=f(x)在I内的凹凸分界点称为曲线y=f(x)的拐点。,.,x,y,o,例1.考察在R上的凹凸性。如右图：,定理1.设函数y=f(x)在某区间I内具有二阶导数1)、若y=f(x)0，则曲线y=f(x)在区间I内是凹的。2)、若y=f(x)0，则曲线y=f(x)在区间I内是凸的。,.,x,y,o,在凹凸区间的分界点（0,0）即拐点,.,定理2：（拐点的必要条件），若函数y=f(x)在x0处二阶导数存在，且点(x0,f(x0)为曲线y=f(x)的拐点，则f(x)=0.,.,定理3:（充分条件）若f(x)=0，且在x0两侧变号，则点(x0,f(x0)是曲线的拐点。,求曲线拐点的步骤：1)，求f(x)的定义域;2)，求f(x),f(x);3),求f(x)=0的点或f(x)不存在的点;4),判断
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