第十一讲：二元随机变量函数的分布

.,.,一、二元连续型随机变量及其概率密度,定义3.6（P54）对于二维随机变量(X,Y)，若存在一个非负可积函数，使对(x,y)R2，其分布函数,则称(X,Y)为二元连续型随机变量，为(X,Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度函数，可记为(X,Y)，(x,y)R2,二元连续型随机变量,.,联合密度的性质(P54)(1)非负性：0,(x,y)R2;(2)归一性：,(4)重要公式:对于任意平面区域GR2,.,边际密度函数（P55）,.,.,.,三、连续型随机变量的条件分布(P57),.,四、随机变量的独立性（P58）,定理：随机变量X与Y独立的充分必要条件是F(x,y)=FX(x)FY(y),定理：设(X,Y)是二元连续型随机变量，X与Y独立的充分必要条件是,.,要求：（1）会由二元连续型随机变量的联合密度求边际密度并能进行简单的相关概率计算。(2)两个随机变量相互独立时，联合分布与边际分布的关系。,.,在第二章中，我们讨论了一元随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:,我们只讨论几种特殊情形：,当随机变量X1,X2,Xn的联合分布已知时，如何求出它们的函数Y=g(X1,X2,Xn),i=1,2,m的分布?,第十一讲二元随机变量函数的分布,.,一、二元离散型随机变量函数的分布（P60）,.,0.05,0,1,2,3,1,2,3,4,2,3,4,5,0.1,0.1,0.05,0.05,0.05,0.1,0.05,0.05,0.2,0.1,0.1,.,.,.,例3：已知两随机变量与相互独立，其分布如下：,解：,.,解：依题意,例4若X和Y相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,求Z=X+Y的分布,i=0,1,2,j=0,1,2,即Z服从参数为的泊松分布.,k=0,1，,X和Y相互独立,.,设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的密度,Z=X+Y的分布函数是:,这里积分区域D=(x,y):x+yz是直线x+y=z左下方的半平面.,二、二元连续型随机变量函数的分布（P61）,1、Z=X+Y的分布,FZ(z)=P(Zz),=P(X+Yz),.,化成累次积分,得,由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成,以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式(P62).,.,特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边际密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:,这两个公式称为卷积公式.（P62）,.,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,解:由卷积公式,即,.,如图示:,.,求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.P63,设X，Y是两个相互独立的随机变量，,它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),2、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,.,M=max(X,Y),(Mz)(Xz,Yz),又由于X和Y相互独立,M=max(X,Y)的分布函数为:,FM(z)=P(Mz),=P(Xz)P(Yz),=P(Xz,Yz),即有FM(z)=FX(z)FY(z),结论的运用可看一下P63例5,=,P63此处的x,y应改为z,=Pmax(X,Y)z,.,类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是,即有FN(z)=1-1-FX(z)1-FY(z),=1-P(Xz,Yz),FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),=1-P(Xz)P(Yz),(Nz)=(Xz,Yz),.,设X1,Xn是n个相互独立的随机变量,M=max(X1,Xn)的分布函数为:,N=min(X1,Xn)的分布函数是,特别，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,FM(z)=F(z)nFN(z)=1-1-F(z)n,与二维情形类似，可得:,.,需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,常称,M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn),为极值.,由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的作用和实用价值.,.,此次课要求：（1）若X，Y为离散型随机变量，会由X,Y的联合分布求其函数的分布。(2)了解二元连续型随机