大学物理第四章 刚体转动.

刚体的转动,第四章,授课教师：张伟Email:zwphys西南科技大学理学院,3,刚体：物体上任意两点之间的距离保持不变,4,平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同,特点：各点运动状态一样，如：等都相同,4.1刚体的定轴转动,5,转动：分定轴转动和非定轴转动,刚体的平面运动,6,刚体的一般运动可看作：,7,定轴转动的描述,角位移,角坐标,角速度矢量,方向:右手螺旋方向,8,角加速度,刚体定轴转动(一维转动)的转动方向可以用角速度的正、负来表示.,9,(1)每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；,(2)任一质点运动均相同，但不同；,定轴转动的特点,(3)运动描述仅需一个坐标,10,角量与线量的关系,11,匀变速转动公式,当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动.,刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比,12,例1在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的转轴旋转开始起动时，角速度为零起动后其转速随时间变化关系为：,式中求：(1)t=6s时电动机的转速(2)起动后，电动机在t=6s时间内转过的圈数(3)角加速度随时间变化的规律,13,(2)电动机在6s内转过的圈数为,解(1)将t=6s代入,(3)电动机转动的角加速度为,14,若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？,15,4.2力矩转动定律转动惯量,:力臂,对转轴Z的力矩,一力矩,用来描述力对刚体的转动作用,台球运动中的转动力矩分析,17,O,（1）若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量,其中对转轴的力矩为零，故对转轴的力矩,18,（2）合力矩等于各分力矩的矢量和,（3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消,刚体内力的合力矩为0!,19,二转动定律,（1）单个质点与转轴刚性连接,20,（2）刚体,质量元受外力，内力,外力矩,内力矩,21,刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.,转动定律,定义转动惯量,22,讨论,m：质点的惯性质量,J：刚体的转动惯量,类比：质点的牛顿第二定律与刚体的定轴转动定律,转动惯量J是量度刚体转动惯性的物理量,23,讨论,（2）,（3）,（1）不变,转动定律,24,三转动惯量,J的意义：转动惯性的量度.,转动惯量的单位：kgm2,25,质量离散分布刚体的转动惯量,J的计算方法,质量连续分布刚体的转动惯量,：质元,26,质量连续分布刚体的转动惯量,：质元,基本原则：质元上的各个点到转轴的垂直距离r应该是相等的。,27,例2.计算质量为m，长为l的细棒绕一端的转动惯量。,dx,dm,x,解：,O,28,例3.计算质量为m，长为l的细棒绕中点的转动惯量。,dx,dm,x,解：,O,29,例4.一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。,解：,30,平行轴定理,质量为的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为的转轴的转动惯量,31,质量为m，长为L的细棒绕其一端的J,圆盘对P轴的转动惯量,32,竿子长些还是短些较安全？,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,非专业训练，请勿模仿!,34,影响转动惯量的三个因素：,应用：制造飞轮时，常做成大而厚的边缘，借以增大飞轮的转动惯量，使飞轮转动得比较稳定。,小结,(1)刚体的总质量;(2)质量的分布;(3)转轴的位置.,35,(2)为瞬时关系,(3)转动中与平动中地位相同,(1),与方向相同,说明,转动定律应用,36,例5.质量为M=16kg的实心滑轮，半径为R=0.15m。一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m=8kg的物体。求（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。（2）绳子的张力。,解：,37,例6.质量为mA的物体A静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为mB的物体B上，B竖直悬挂滑轮与绳索间无滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计(1)两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？(2)物体B从静止落下距离y时，其速率是多少？,38,解(1)用隔离法物体分别对各物作受力分析，取坐标如图,A,B,C,39,40,解得：,41,如令，可得,（2）B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率,例8,43,稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度,例9一长为l、质量为m匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动由于此竖直放置的细杆处于非,m,l,O,mg,44,解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得,式中,得,m,l,O,mg,45,由角加速度的定义,代入初始条件积分得,m,l,O,mg,END,46,relationofworkwithenergyinrotation,47,48,力矩作用于刚体在时间和空间的积累效应。,力矩在时间上的积累效应：,转动,冲量矩,角动量的改变,力矩在空间上的积累效应:,力矩的功,能量改变,转动动能，转动动能定理,角动量定理，角动量守恒定律,转动,49,4.3力矩的功转动动能,力矩的功,一力矩的功和功率,50,力矩的功率,比较,二转动动能,51,三刚体绕定轴转动的动能定理,刚体绕定轴转动的动能定理,比较,52,例1留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速率作匀速转动放上唱片后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转动设唱片的半径为R，质量为m，它与转盘间的摩擦系数为，求：(1)唱片与转盘间的摩擦力矩；(2)唱片达到角速度时需要多长时间；(3)在这段时间内，转盘的驱动力矩做了多少功？,53,R,r,dr,dl,o,解(1)如图取面积元ds=drdl，该面元所受的摩擦力为,此力对点o的力矩为,54,于是，在宽为dr的圆环上，唱片所受的摩擦力矩为,R,r,dr,dl,o,55,(3)由可得在0到t的时间内，转过的角度为,(2)由转动定律求，(唱片J=mR2/2),（作匀加速转动）,驱动力矩做功为,由可求得,56,例2.一质量为M，半径R的圆盘，盘上绕有细绳，一端挂有质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度为多大？,m,M,m,解：,解得：,57,4.4角动量角动量守恒定律,1.质点的角动量,质量为的质点以速度在空间运动，某时对O的位矢为，质点对O的角动量,单位：kgm2s-1,58,质点以作半径为的圆运动，相对圆心,作用于质点的合力对参考点O的力矩，等于质点对该点O的角动量随时间的变化率.,2.质点的角动量定理,59,质点角动量定理的推导,60,质点的角动量定理：对同一参考点O，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.,恒矢量,3质点的角动量守恒定律,冲量矩,62,二刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律,1.刚体定轴转动的角动量,63,对定轴转的刚体，,2.刚体定轴转动的角动量定理,质点mi受合力矩Mi(包括Miex、Miin),合外力矩,64,非刚体定轴转动的角动量定理,对定轴转的刚体，受合外力矩M，从到内，角速度从变为，积分可得：,65,徒手劈砖的技巧,66,角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.,内力矩不改变系统的角动量.,守恒条件,若不变，不变；若变，也变，但不变.,3.刚体定轴转动的角动量守恒定律,67,例如：地球所受的力矩近似为零，地球自转角速度的大小方向均不变。地球赤道平面与黄道平面（公转轨道）的夹角保持不变。地球在轨道上不同位置，形成春、夏、秋、冬四季的变化。,角动量守恒的第一类现象,68,角动量守恒的另一类现象,69,花样滑冰,角动量守恒的另一类现象,花样滑冰,茹科夫斯基凳实验,72,直升机中的角动量守恒,（1）演习中直升机尾翼突然断裂（2）直播直升机折断尾翼坠毁,直升机中的飞行原理,陀螺仪,定轴陀螺仪,偏轴陀螺仪,被中香炉与陀螺仪-古人的智慧,77,自然界中存在多种守恒定律,动量守恒定律能量守恒定律角动量守恒定律,电荷守恒定律质量守恒定律宇称守恒定律等,78,以子弹和沙袋为系统,动量守恒；,角动量守恒；,机械能不守恒.,子弹击入沙袋,细绳质量不计,79,以子弹和杆为系统,机械能不守恒,角动量守恒；,动量不守恒；,80,圆锥摆,圆锥摆系统,动量不守恒；,角动量守恒；,机械能守恒,81,随堂小议,（1）,（2）,（3）,（4）,两人同时到达；,用力上爬者先到；,握绳不动者先到；,以上结果都不对。,（请点击你要选择的项目）,两人质量相等,O,一人握绳不动,一人用力上爬,可能出现的情况是,终点线,终点线,滑轮质量,既忽略,轮绳摩擦,又忽略,讨论,结束选择,82,小议链接1,（1）,（2）,（3）,（4）,两人同时到达；,用力上爬者先到；,握绳不动者先到；,以上结果都不对。,结束选择,83,系统的初态角动量,系统的末态角动量,不论体力强弱，两人等速上升。,可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。,分析：质点系m1、m2，忽略轮、绳质量及轴摩擦。,若，系统受合外力矩为零，角动量守恒。,若，系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。,试求：当绳子到达B点（此时绳子被拉紧）时的速度。,解：由角动量守恒得,85,例一长为l,质量为m的竿可绕支点O自由转动一质量为m、速率为v的子弹射入竿内距支点为a处，使竿的偏转角为300.问子弹的初速率为多少?,解子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒,86,射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统，E=常量,87,例工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，A轮的转动惯量为JA=10kgm2，B的转动惯量为JB=20kgm2。开始时A轮的转速为600r/min，B轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？,88,解,为两轮啮合后共同转动的角速度，于是,以各量的数值代入得,89,或共同转速为,在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失的机械能为,90,例质量很小长度为l的均匀细杆，可绕过其中心O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率垂直落在距点O为l/4处，并背离点O向细杆的端点A爬行设小虫与细杆的质量均为m问：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?,91,解虫与杆的碰撞前后，系统角动量守恒,92,由角动量定理,考虑到,93,例一杂技演员M由距水平跷板高为h处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一端的演员N弹了起来问演员N可弹起多高?,94,设跷板是匀质的，长度为l，质量为，跷板可绕中部支撑点C在竖直平面内转动，演员的质量均为m假定演员M落在跷板上，与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞,解碰撞前M落在A点的速度,碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度,95,M、N和跷板组成的系统，角动量守恒,l,l/2,C,A,B,M,N,h,96,解得,演员N以u起跳，达到的高度：,例一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的竖直固定光滑轴转动，棒的质量为长度为对轴的转动惯量为，初始时棒静止，今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，子弹的质量速率,问（1）棒开始和子弹一起转动时角速度？（2）若棒转动时受到大小为的恒阻力矩作用，棒能转过的角度？,o,（2）转动定律,转动定律：,（1）角动量守恒,一根质量为m、长度为L的匀质细直棒，平放在水平桌面上。若它与桌面间的滑动摩擦系数为，在时，使该棒绕过其一端的竖直轴在水平桌面上旋转，其初始角速度为0，则棒停止转动所需时间为。,例,求：棒从碰撞开始到停止转动所用的时间。,解：由角动量守恒得,棒上dx段与桌面间的摩擦力为：,dx段所产生摩擦力力矩为：,摩擦力力矩为：,由角动量原理：,),所用的时间为：,例一匀质的薄圆盘状飞轮，质量为m，半径为R，绕过盘心且垂直盘面的竖直轴转动，轴的摩擦忽略不计。当它以初角速度0转动时，由于上下表面受到空气的摩擦阻力矩的作用，会慢慢停下来，假设空气对盘表面任意点附近单位面积上的摩擦力正比于该点处的线速度大小，比例常数为k，求它一共能转多少圈？,解此题的关键是求出摩擦阻力矩。为此首先要明确摩擦阻力矩有什么特点？因为单位面积受到的摩擦阻力，正比于该点处的线速度，所以飞轮转动时，距转轴距离相等的各点处，单位面积的摩擦力大小一样，方向不同，但它们产生的力矩方向相同。转动过程中，由于角速度不断变化，所以同一点处摩擦力的大小也要随时间变化，是一个变力矩的问题。方法：一种是应用转动定律，一种是应用角动量定理。,方法一：应用转动定律,单位面积元所受的摩擦力为：,圆环上所有面元的力矩方向相同，即均向里，,由转动定律,方法二、角动量定理,因为力矩