最优投资计划问题PPT学习课件

Excel在最优投资计划问题中的应用,1,内容概要,最优投资计划问题最优债券投资问题连续投资问题养老金管理问题定额投资问题最优组合投资问题最优资产组合投资问题选择高于市场平均收益率的组合投资问题,2,最优投资计划问题,将有限的资金怎样进行组合投资才能使所得收益最大或风险最小是经济投资中经常涉及到的问题。例如：一次性投资问题、连续投资问题、组合投资问题等。,3,内容概要,最优投资计划问题最优债券投资问题连续投资问题养老金管理问题定额投资问题最优组合投资问题最优资产组合投资问题选择高于市场平均收益率的组合投资问题,4,例1：国家农业银行希望为15名要提前退休的员工制定一项提前退休计划。这些员工将要在从明年开始的7年内逐渐退休完。为了给这个提前退休计划筹集资金，此银行决定在这7年期间进行债券投资。如下表1-1给出了每年应向这些提前退休的员工支付的金额，这些金额必须在每年年初支付。,此银行计划购买3种不同的债券，即SNCF公司(法国国营铁路公司)的债券、Fujitsu(富士通)公司债券以及国债。未投资于这些债券的资金将作为储蓄保存，储蓄的利率为3.2%，表1-2列出了各个债券的收益、期限时间长度以及价格等消息。这些债券只能按整数数目进行购买，并且一旦购买之后在债券期限内即无法更改投资金额，每年只返回投资利息。,5,此退休计划的负责人决定只在第1年年初购买债券，而在此后的几年内不再购买，应该如何分配在各个债券的投资金额才能使得只需要花费最少的资金就能够满足此退休计划的要求？,表1-2：每年要求的金额,6,解：由于该投资计划只允许在第1年购买债券，而在此后的几年内不再购买，即只进行一次性投资。因此，设在第一年初3种债券SNCF、Fujitsu、国债的购买量分别为x1、x2、x3；初始投资为y，第t年的储蓄为st；设债券价格为pi，债券利率为ri，i=1,2,3，第t年退休金的需求为dt，则各年资金流的限制为：第1年：第2，4年：第5年：第6年：第7年：总目标为初始投资最小，即：,7,规划求解设置和结果,8,内容概要,最优投资计划问题最优债券投资问题连续投资问题养老金管理问题定额投资问题最优组合投资问题最优资产组合投资问题选择高于市场平均收益率的组合投资问题,9,10,解：首先，假设投资机会只有这四个项目可以投资，不考虑其他的投资机会，如银行存款、购买股票、购买基金等资本市场的投资方式（如果在实际问题中需要考虑这些投资方式，则只需要将其作为若干投资方式进行类似处理即可）。将投资过程用表2描述，其中表示第i年对第j项目的投资额。,说明：表2的含义是第1年对项目1投资，则第1年底即第2年初的收益（本息和）为，对项目2投资，则第2年底即第3年初的收益为，其余各年的含义类同。,11,约束条件：(1)每年年初的投资额等于投资资金的限制：第1年：第2年：第3年：(2)每年各项目投资额的限制：(3)总目标为第3年末的投资总收益为最大，表示为：,12,规划求解设置和结果,13,内容概要,最优投资计划问题最优债券投资问题连续投资问题养老金管理问题定额投资问题最优组合投资问题最优资产组合投资问题选择高于市场平均收益率的组合投资问题,14,例3：华信金融公司管理的金融产品中有一只很受赞誉的养老基金，这些养老基金是很多公司用来为其雇员提供养老金的，华信公司希望能够进行合理的投资来保证养老金的供应。假设：现在是2007年的12月，在接下来的10年中需要支付的总养老金如表3-1所示。,15,为了使养老基金的提供有安全保证，华信公司希望投资在能够与未来10年中的养老金支付相匹配的项目。养老基金管理中心授权华信公司的投资项目只能是资本市场基金和债券。资本市场基金获得每年固定的5%的利息收入，公司所考虑投资的4种债券的特征如表3-2所示。所有的债券均可在2008年1月1日购买，可以购买任意数量单位。债券在每年的1月1日付息，支付期为购买后的第1年到到期日为止（包括到期日）。因此这些每年1月1日的利息支付获得正好能够用来冲抵当年养老金的支付，所有多余的利息收入将存入资本市场基金。,16,为金融计划的保守起见，华信公司假定所有的养老金支付在每年的年初，正好在利息收入（包括资本市场基金的利息收入）获得之后，债券的面值也将在到期日获得。既然当前的债券价格低于面值，真正的债券的收益比利息率要高。如债券3是一个零利息率的债券，所以每年得到的利息为0，但是到期日获得的面值要远大于当年债券的购得价格。华信公司希望在2008年1月1日用最小可能的投资（包括市场基金的存款）来应付到2016年为止的所有所需的养老金的支付，请对此问题进行分析，并求出最优投资方案。,17,解：首先，由于所有的债券均可在2008年1月1日购买，所以该问题是一次性投资问题。(1)设各种债券2008年1月1日购买的数量分别是，单位是面值1千美元，初始投资为万美元，第t年的储蓄为，第t年养老金需求为，第i种债券的息票率为，i=1,2,3,4。(2)2008年的资金平衡方程为：，表示购买债券需要的资金，加上初始投资，减去第一年的储蓄，则剩下的资金主要能满足支付第一年的养老金需求就可。其他年份的资金平衡方程为：表示当年的债券利息收入，到期债券的本利收入，加上上一年储蓄收入，减去当年需要的储蓄，剩下的资金能满足当年养老金需求即可。(3)目标是使初始投资最小，即用最小的初始投资，通过华信公司10年的资金运转，能够完全支付未来10年养老金的需求。,18,规划求解设置和结果,19,内容概要,最优投资计划问题最优债券投资问题连续投资问题养老金管理问题定额投资问题最优组合投资问题最优资产组合投资问题选择高于市场平均收益率的组合投资问题,20,例4：通用公司的董事会正在考虑几个大型的投资项目，每个项目只能投资一次，且各项目所需要的投资金额与能够产生预期收益是不同的，如表4所示：,假设公司现有的总投资金额为1亿美元，其中投资项目1和投资项目2是互斥的，项目3和项目4也是互斥的。此外，如果不选择项目1或是项目2，就不能选择项目3、项目4。投资项目5、项目6、项目7上没有附加约束。问题目标是通过组合各种投资，使得估计预计收益最大。,21,解：（1）由于每一个项目的投资金额固定，投资以后的预期收益也固定，所以对于任何一个项目，只存在是选择投资还是不选择投资，而不是选择投资多少的问题，因此，设：1，选择j项目投资0，不选择j项目投资（2）投资资金的限制：项目1和项目2互斥：项目3和项目4互斥：不选择项目1或是项目2，就不能选择项目3和项目4:（3）投资的预期收益最大：,22,规划求解设置和结果,23,内容概要,最优投资计划问题最优债券投资问题连续投资问题养老金管理问题定额投资问题最优组合投资问题最优资产组合投资问题选择高于市场平均收益率的组合投资问题,24,非线性规划（补充介绍）,在前面讲述的，所涉及规划问题的目标函数和约束条件都是线性的，但在许多实际问题中，往往会遇到目标函数或约束条件是非线性的情况，这些问题就是非线性规划问题。非线性规划问题存在局部最优解和和全局最优解。通常非线性规划的解是局部极大点和极小点（即局部最优解），它使得目标函数在一部分可行域上达到极大值或者极小值（局部极值），具体的解与给定的决策变量初值有关，最后只能从这些局部最优解中挑选出一个最优解作为最有答案。边际收益递减的二次规划可分离规划,25,例：某工厂要生产两种新产品：门和窗。经测算，每生产一扇门需要在车间1加工1小时、在车间3加工3小时；每生产一扇窗需要在车间2和车间3各加工2小时。而车间1每周可用于生产这两种新产品的时间为4小时、车间2为12小时、车间3为18小时。已知每扇门的利润为300元，每扇窗的利润为500元。而且根据经市场调查得到的该两种新产品的市场需求状况可以确定，按当前的定价可确保所有新产品均能销售出去。问该工厂应如何安排这两种新产品的生产计划，可使总利润最大？（非线性营销问题）在营销过程中，营销成本往往是非线性的，而且随着销量的增加，单位营销成本也增加，也就是说，单位利润随着销量的增加而减少（边际收益递减）,26,本题增加考虑了新产品（门和窗）的营销成本。原来估计每扇门的营销成本是75元、每扇窗的营销成本是200元。因此当时估计的门和窗的单位利润为300元和500元。也就是，如果不考虑营销成本，每扇门的毛利润为375元，每扇窗的毛利润为700元。由于门和窗的营销成本随着销量的增加而呈现非线性增长，设x1为门的每周产量，x2为窗的每周产量，而门的每周营销成本为25x12，窗的每周营销成本为60 x22。,27,解：新的模型考虑了非线性的营销成本，所以在原来模型的基础上，需要修改目标函数。(1)决策变量设x1为门的每周产量，x2为窗的每周产量。(2)目标函数每周门的销售毛利润为375x1，门的每周营销成本为25x12，因此，每周门的净利润为375x125x12；每周窗的销售毛利润为700 x2，窗的每周营销成本为60 x22，因此，每周窗的净利润为700 x260 x22。本题的目标是总的净利润最大，因此,28,规划求解设置和结果,29,例5：众所周知，股票投资是风险与收益并存，并且高收益总是伴随着高风险出现，因此投资人一方面关心投资的收益，另一方面关心着投资的风险。美国著名经济学家马克威兹开创了组合投资理论的先河，发表了资产组合的选择、资产组合-投资的有效分散性等论文和论著。对组合投资理论与实际进行了系统的研究。组合投资的焦点就是如何处理投资的收益与风险的问题，马克威兹提出了4种有效模型。假设市场上有n种债券可以投资，表示对第i种债券的投资数量，表示第i种债券的价格，表示第i种债券的收益，表示第i种债券的方差，表示第i种债券与第j种债券的协方差，投资总资金为M，为常数，表示风险容忍上限，为收益容忍下限。,这种方法主要来自于哈里马克维茨（HarryMarkowitz）和威廉夏普（WilliamSharpe）开创性的研究，他们因为该项研究而获得了1990年的诺贝尔经济学奖。,30,模型1:在控制风险的基础上，使投资收益最大。,模型2:在保证一定收益的基础上，使投资风险最小。,模型3:以一定的权重来平衡投资的收益和风险。,模型4:在一定收益率基础上，风险最小。,31,对于某个具体的投资，可选择其中任一模型进行分析求解确定最优投资。例如有一投资人准备对股票进行投资，他从有关市场信息中了解到他感兴趣的6只股票的信息如表5-1和表5-2所示，并且他希望每一只股票的投资比例不超过40%。问投资者应该进行怎样的组合投资，可以使其获得的预期收益率不低于35%，而使投资的风险最小？,32,解：(1)设表示对第i种股票投资的百分比，i=1,2,3,4,5,6，投资比例的限制为：且每只股票最多投资40%，。(2)期望收益率限制为：(3)目标风险最小：,33,规划求解设置和结果,34,内容概要,最优投资计划问题最优债券投资问题连续投资问题养老金管理问题定额投资问题最优组合投资问题最优资产组合投资问题选择高于市场平均收益率的组合投资问题,35,例6：市场上n种资产（如股票、债券）,（i=1,2，n），供投资选择，某公司有数额M=5000万元的一笔资金可作为一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买的平均收益率为，并预测出购买的风险损失率为，考虑到投资越来越分散，总的风险越小。公司规定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量。购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买额计算（不买当然不付费）。另外，假定同期银行存款利率是，且既无交易费又无风险（）试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M，在表6给出的15种资产中，有选择地购买若干资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。,36,37,解：设表示对资产的投资额，这里为处理方便，将银行存款也看做一种资产投资方式，并且是既无交易费，又无风险，平均收益率为的一种可选择资产，i=0,115交易费的计算：这是一个分段函数，如果直接代入模型计算，会使模型变成非线性规划模型，这会给求解带来一定的困难。由于投资者对于债券的购买一般会超过最低线，所以可以将交易费简化为：既可简化为线性函数。(3)投资资金的限制条件为：,38,(4)组合投资的收益为：组合投资的风险用投资的中最大的一个风险来度量，即用中损失率最大的一个来度量，表示为：。(5)组合投资目标要求投资收益最大，风险最小，这是一个双目标问题，表示为：双目标问题在Excel中无法求解，引进一个新变量y，使所有资产项目的损失率小于等于y，则最大资产项目的损失率也会小于等于y，因此将双目标问题化简为单目标问题。(6)综合以上分析，该问题的数学模型可表示为：,39,规划求解设置和结果,40,内容概要,最优投资计划问题最优债券投资问题连续投资问题养老金管理问题定额投资问题最优组合投资问题最优资产组合投资问题选择高于市场平均收益率的组合投资问题,41,例7：投资组合经理的一个共同目标希望是获得高于市场平均收益的回报。如果假设过去的业绩在一定程度上是未来的指示器，那么挑选在过去收益率通常高于市场的平均收益率的投资组合则很可能就是在未来收益高于市场的投资组合。下面考虑5家大型股票，其收益率及当时市场平均收益率如表7所示。问这些股票如何构成一个投资组合，使在未来最有可能获得高于市场平均收益的回报？,42,43,解：分析：由于未来的市场平均收益情况具有不确定性，而本问题又是一个贫信息问题。只知道各只股票的以往各期收益率及市场平均收益率，因此，只能用这样一种思路来考虑，如果某一种投资组合在以往多数情况下都能取得高于市场