第一节-定积分的概念与性质ppt课件

第五章定积分,第一节定积分的概念与性质,一、问题的提出,我们平时在平面几何和立体几何中学到的都是非常规则的图形，如三角形、梯形、圆等等。,它们的面积计算都由公式给定，理解也相对简单。但是，现实中还会有另外一些图形，它们的面积计算就无法由给定的公式给出。如右上图。这样的图形面积应该怎么计算呢？,考虑这样一个问题：由连续曲线y=f(x)()、x轴与两条直线x=a、x=b所围成的图形，这个图像成为曲边梯形(如图)，它的面积应当如何计算呢？,由于不知道它的确切公式，所以只用用一种近似法的思路,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,用矩形面积近似取代曲边梯形面积把区间a,b区间划分成多个子区间，并以此为底构建多个小矩形，通过计算这些矩形的面积并对之求和，从而求得近似的曲边梯形的面积。,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,曲边梯形如图所示，,分割,求曲边梯形的面积A的具体做法：,把区间a,b分成n个小区间,过每个分点xi(i=1,2,n)作y轴的平行线，将曲边梯形分割成n个小曲边矩形.,取近似,以为底，为高的小矩形面积为,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,求和,取极限,【实例1】（求变速直线运动的路程）,【思路】把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,(1)分割,部分路程值,某时刻的速度,(3)求和,(4)取极限,路程的精确值,(2)取近似,曲线下的面积AreaUnderaCurveHowtofindtheshadedareaunderthecurveofyf(x)fromxatoxb?Asshownbelow:,初等数学背景下，曲线下的面积(AreaUnderaCurve)是相当困难的问题。但是，运用定积分(TheDefiniteIntegral)解答，手到擒来,【实例2】,黎曼和RiemannSums,一分为二，n=2,一分为四,n=4,一分为八,n=8,一分为n，n,Asshownabove:德国数学家黎曼(BernhardRiemann)给出了一个巧妙的办法:.将曲线下的不规则图像近似切割成等宽的一个个小矩形(Rectangle);.测量所有小矩形的面积，累加所有小矩形的面积，得到一个面积和;.使用面积和估算曲线下的面积;.将小矩形切割得再小些，重复上述过程，使得估算值更为准确；Thatis,先把闭区间a,b分为n个子区间，把曲边形分割成n个小矩形。用n个小矩形估算n个小曲边形，我们使用Ai表述第i个小矩形的面积，n个小矩形的面积和:我们称为黎曼和(RiemannSums),二、定积分的定义,若f(x)是定义在闭区间a，b上的函数，如果存在，则f(x)在a，b上是可积分的，称此极限值为f(x)在a，b上的定积分。,我们将称为黎曼和。,当函数值取左端点值时，称为左黎曼和。当函数值取右端点值时，称为左黎曼和。当函数值取中点值时，称为中点黎曼和。,左黎曼和LeftRiemannSumsIfweusethefunctionvalueoftheletfpointoftheinterval,thesumiscalledaLeftRiemannSumL(n).Asshownbelow:,LeftRiemannSums,Since,Then;And,右黎曼和RightRiemannSumsIfweusethefunctionvalueoftherightpointoftheinterval,thesumiscalledaRightRiemannSumR(n).Asshownbelow:,RightRiemannSums,Since,Then;And,中黎曼和MidpointRiemannSumsIfweusethefunctionvalueofthemidpointoftheinterval,thesumiscalledaMidpointRiemannSumM(n).Asshownbelow:,MidpointRiemannSums,Since,Then;And,Weget，And,wehavetheTrapezoidRule:,梯形法则TrapezoidRuleNow,wefindtheareasofthestripsasshownbelowbyusingtrapezoids.Wedenotethebasesofthete1,y2,y3,.,yn+1,andtheheightsby.,TrapezoidRule,函数f(x)在区间a,b上的定积分，记为,积分上限,积分下限,积分和,【注意】,（因为定积分是一个数值）,(2)为了以后讨论方便，规定,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,三、定积分的几何意义,Example1:Approximatetheareaundercurvey=x2fromx=0tox=4usingfourleft-end-point/right-endpoint/midpointrectangleswithequalwidth.,Solution:,Dividetheintervaltofourequalinterval0,1,1,2,2,3and3,4.,LeftRiemannsum:,RightRiemannsum:,MidpointRiemannsum:,Example2:Thefunctioniscontinuousontheclosedinterval0,10andhasvaluesasshowninthetableabove.Usingtheintervals0,22,55,8and8,10,whatistheapproximationofobtainedfromarightRiemannsum?,Solution:,FromthedefinitionofRiemannsum,=(2)2+(1)3+43+(8)2=11,显然，按定义计算定积分非常困难，须寻找新的途径计算定积分，接下来，介绍牛顿莱布尼茨公式，从而建立了定积分与不定积分之间的联系，大大简化了定积分的计算。,注意到路程函数s(t)是速度函数v=v(t)的原函数，因此把定积分与不定积分联系起来了，这就是下面的牛顿莱布尼茨公式。,另一方面，质点从某时刻a到时刻b所经过的路程记为s(b)s(a),则s(t)=v=v(t)，于是,若质点以速度v=v(t)作变速直线运动，由定积分定义，质点从时刻a到b所经过的路程为，,函数f在a,b上满足条件：,(i)f在a,b上连续；,(ii)f在a,b上有原函数F；,则,(1)f在a,b上可积；,四、微积分第一基础理论(牛顿-莱布尼茨公式),注意：,上述公式通常称为牛顿莱布尼茨公式,它揭示了定积分与不定积分之间的关系,给定积分的计算提供了一种简便而有效的方法.,通常称F(x)是f(x)的一个原函数,(2)在计算定积分时，常常用符号来表示F(b)F(a)，牛顿莱布尼茨公式也可以写作,常见函数的原函数,c,xc,ln|x|c,exc,sinxc,cosxc,基本积分表,例1,求下列定积分：,解:,由于,因此,.,解,(2)求,(3)求,解,解,(4)求,例2求,原式,解,例3求,原式,解：,Example4:Find,Solution:,Example5:Ifand,thenf(e)=?,Solution:,在下面的性质中，假定定积分都存在，且若无特别说明则不考虑积分上下限的大小,对定积分的【补充规定】,【说明】,六、定积分的性质,性质1:,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,（逐项积分）,性质2:,【补充】不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立.,例若,性质3:,则,（积分区间的可加性）,【推广】,首尾相接,性质4:,性质5:,若f(x)在区间a,a上连续且为奇函数，则,若f(x)在区间a,a上连续且为偶函数，则,六、小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,求近似，以直（不变）代曲（变）,取极限,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,.,66,3.定积分的定义,若f(x)是定义在闭区间a，b上的函数，如果存在，则f(x)在a，b上是可积分的，称此极限值为f(x)在a，b上的定积分。,我们将称为黎曼和。