第十章第八节离散型随机变量及其分布列与超几何分布(理)

.,.,1.理解取有限个值的离散型随机变量的分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求取有限个值的离散型随机变量的分布列2理解超几何分布，并能进行简单的应用,.,.,.,1离散型随机变量的分布列及其性质(1)离散型随机变量的分布列设离散型随机变量X的取值为a1，a2，随机变量X取ai的概率为pi(i1,2，)，记作：(i1,2，)或把上式列成表,P(Xai)pi,.,称为离散型随机变量X的分布列(2)离散型随机变量分布列的性质pi0(i1,2，)；p1p21.,p1,p2,.,2超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(MN)件次品，从中任取n(nN)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(Xk)(其中k为非负整数)，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布,.,1下列4个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是()A.,B.,.,C.D.,答案：C,.,2袋中有大小相同的6只钢球，分别标有1,2,3,4,5,6六个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为()A36B12C9D8,解析：X的所有可能取值为：3,4,5,6,7,8,9,10,11共9个,答案：C,.,3已知随机变量X的分布列为P(Xi)(i1,2,3)，则P(X2)()A.B.C.D.,解析：1，a3，P(X2).,答案：C,.,4已知随机变量X的分布列为：则x_.,解析：0.10.20.3x0.11，x0.3.,答案：0.3,.,5从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是_,解析：设所选女生人数为x，则x服从超几何分布，其中N6，M2，n3，则P(x1)P(x0)P(x1).,答案：,.,.,1.离散型随机变量的特征是能一一列出，且每一个值各代表一个试验结果，所以研究随机变量时，关心的是随机变量能取哪些值，包含了哪些试验结果(基本事件)2离散型随机变量的分布列常用表格的形式表示，其结构为两行、n1列，第一行表示随机变量的取值，第二行对应于随机变量的概率,.,设离散型随机变量X的分布列为,求：(1)2X1的分布列；(2)|X1|的分布列,.,思路点拨,.,课堂笔记由分布列的性质知：0.20.10.10.3m1，m0.3.首先列表为：,13579,10123,.,从而由上表得两个分布列为：(1)2X1的分布列：,(2)|X1|的分布列：,13579,0.20.10.10.30.3,0123,0.10.30.30.3,.,保持题目条件不变，求P(12X19).,解：P(12X19)P(2X13)P(2X15)P(2X17)0.10.10.30.5.,.,求一随机变量的分布列，可按下面的步骤：1明确随机变量的取值范围；2求出每一个随机变量在某一范围内取值的概率；3列成表格,.,特别警示(1)解决该类问题的关键是搞清离散型随机变量X取每一个值时对应的随机事件，然后求出X取每一个值的概率(2)列出分布列后，要注意应用分布列的性质检验所求的分布列或概率是否正确,.,袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的分布列；(3)计分介于20分到40分之间的概率,.,思路点拨,.,课堂笔记(1)法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A).法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件因为P(B)，所以P(A)1P(B)1.,.,(2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5.P(X2)；P(X3)；P(X4)；P(X5).,.,所以随机变量X的概率分布列为：,2345,.,(3)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”记为事件C，则P(C)P(X3或X4)P(X3)P(X4).,.,若将题目条件中的“最大数字”改为“最小数字”，试解决上述问题？,解：(1)同例2解法.(2)由题意，X所有可能的取值为1,2,3,4，P(X1)；,.,P(X2)；P(X3)；P(X4).所以随机变量X的分布列为：,1234,.,(3)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)P(X3或X4)P(X3)P(X4).,.,超几何分布是一种很重要的分布，其理论基础是古典概型，主要运用于抽查产品、摸不同类别的小球等概率模型，其中的随机变量相应是正品(或次品)的件数、某种小球的个数如果一随机变量服从超几何分布，那么事件Xk发生的概率为P(Xk)，k0,1,2，m，mminM，n,.,特别警示超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数,.,在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的商品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列,.,思路点拨,.,课堂笔记(1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率为P.(或用间接法，即P11.),.,(2)依题意可知X的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且P(X0)；P(X10)；P(X20)；P(X50)；P(X60).,.,所以X的分布列为：,010205060,.,将题目中的条件“任抽2张”改为“任抽3张”，求(1)该顾客中奖的概率.(2)若抽一张券需花费9元，那么，该顾客抽2张奖券还是抽3张奖券合算？,解：(1)P1.,.,(2)用Y表示该顾客抽3张奖券后获得奖品总价值P(Y0)，P(Y10)；P(Y20)；P(Y30)；P(Y50)；,.,P(Y60)；P(Y70).E(Y)010203050607024.E(Y)393.,.,在例3的基础上可得E(X)1020506016.E(X)292.E(Y)27E(X)18，抽2张奖券更合算,.,以实际问题为背景，以解答题的形式考查随机变量的概率、分布列是高考对本节内容的常规考法.09年福建高考将概率、离散型随机变量的分布列与集合、组合数的性质等相结合考查，是一个新的考查方向,.,考题印证(2009福建高考)(12分)从集合1,2,3,4,5的所有非空子集中，等可能地取出一个(1)记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；(2)记所取出的非空子集的元素个数为X，求X的分布列和数学期望EX,.,【解】(1)记“所取出的非空子集满足性质r”为事件A.基本事件总数n31；事件A包含的基本事件是1,4,5，2,3,5，1,2,3,4；事件A包含的基本事件数m3.P(A).(5分),.,(2)依题意，X的所有可能取值为1,2,3,4,5.又P(X1)；P(X2)；P(X3)；P(X4)；P(X5).(9分),.,故X的分布列为：,从而EX12345.(12分),(11分),12345,.,自主体验某中学组建了A、B、C、D、E五个不同的社团组织，为培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加，且只能参加一个社团假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的(1)求甲、乙、丙三名学生参加五个社团的所有选法种数；(2)求甲、乙、丙三人中至少有两人参加同一社团的概率；(3)设随机变量X为甲、乙、丙这三个学生参加A社团的人数，求X的分布列与数学期望,.,解：(1)甲、乙、丙三名学生参加五个社团的选法均有5种，故共有555125(种)(2)三名学生选择三个不同社团的概率是.三名学生中至少有两人选择同一个社团的概率为1.,.,(3)由题意X0,1,2,3.P(X0)；P(X1)；P(X2)；P(X3).,.,故X的分布列为：,数学期望EX0123.,0123,.,.,1设随机变量X等可能取值1,2,3，n，如果P(X4)0.3，那么()An3Bn4Cn9Dn10,.,解析：P(X4)P(X1)P(X2)P(X3)0.3，n10.,答案：D,.,2随机变量X的概率分布规律为P(Xn)(n1,2,3,4)，其中a是常数，则PX的值为()A.B.C.D.,.,解析：由题意得1，a1，a，PXP(X1)P(X2),答案：D,.,3设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X0)等于()A0B.C.D.,.,解析：设X的分布列为,即“X0”表示试验失败，“X1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p.由p2p1得p.,答案：C,01,.,4从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布为：,.,解析：P(X2)0.3，P(X0)0.1，P(X1)0.6.,答案：0.10.60.3,.,5随机变量X的分布列如下：,其中a，b，c成等差数列，则P(|X|1)_.,.,解析：a，b，c成等差数列，2bac.又abc1，b，P(|X|1)ac.,答案：,.,6(2009全国卷)某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；(3)记X表示抽取的3名工人中男工人数，求X的分布列及数学期望,.,解：(1)由于甲组有10名工人，乙组有5名工人，根据分层抽样原理，若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，则从甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人(2)记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则P(A).(3)X的可能