复变函数第1讲

复变函数论,主讲刘新海,中国石油大学（华东）,序言,函数论是数学研究中的一个十分重要的领域。其中包括两大分支：一是实变函数论（研究以实数作为自变量的函数，高等数学研究的就是这一类函数）；另一是复变函数论（研究以复数为自变量的函数），本课程就是介绍复变函数的理论，其研究对象是解析函数。,现在，复变函数理论及方法在数学及工程技术中有着广泛的应用。比如，在复变函数理论最先得到成功应用的流体力学、电磁学、平面弹性力学这三个领域中，复变函数方法已经发展成为解决有关问题的几种经典方法之一。,复变函数不仅在其他学科得到广泛应用，而且在数学领域里，许多分支也都应用它的理论，他已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对他们的发展有很大的影响。,复变函数的应用,第一章复数与复变函数,1复数,3复变函数,4复球面与无穷远点,2复平面上的点集,注:(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同；(2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数.,1.1复数,1.复数域,其中,实部,虚部,共轭,加、减：,乘法：,注:,复数的四则运算,除法：,容易证明:复数的运算满足分配律、交换律、结合律.,这样取X=1，得,矛盾！,有序实数对(x,y),平面上一点P,实轴、虚轴、复平面,Z平面、w平面,2.复平面,复数,代数表示,复数的向量表示,模：,辐角：,几何表示,复数向量表示的重要意义：能够将代数问题化为几何问题，从而使问题变得直观,由此立即得到下面不等式：,两点距离公式,显然,为整数.,3.复数的模与辐角,复数的三角形式,根据,上式称为复数的三角形式.,可以得到,复数的指数形式,由欧拉公式,可以得到复数的指数表示式:,例4复数的各种形式转换,例5将复数化为指数形式.,辐角主值的另一计算公式,18,（1）、乘积与商,因此,注意多值性,4.复数的乘幂与方根,19,判断下列说法是否正确？,几何解释,(T),(F),20,除法运算,或者,集合等式,21,22,（2）、幂与根,定义z的n次幂：,则有,-棣莫弗公式.,定义z的n次根：若有wn=z,则称w为z的n次根，记为,定义,23,如何求z的n次根呢？,24,当k0，1，2，n1时，得到n个相异的根：,25,注,26,例8.,例7.,27,28,例10,法一,法二,麻烦,5.共轭复数,另外，还经常用到以下性质：,显然,解（1）因为,（2）因为,并用此等式证明三角不等式。,证,其次,则,33,例15：设,试写出f(z)的关于z表达式。,分析：令,解出x,y代入表达式整理可得。,例16：设,分析：令,34,例17：试证下列等式,分析：,6.复数在几何上的应用举例,例18.下列方程各表示什么曲线？,4）写出直线的复数形式方程.,1）,2）,解：1)、2)的关键是知道复数模的几何意义，,所以：1）表示圆周，2）表示直线.,3）,3）化为实方程，为此代入,，得,化简，得,，表示一条直线.,4）由,得,代入直线方程,因而直线的方程为,，其中为实数.,例19求证：三个复数成为