第十四章 整式的乘法与因式分解复习

第十四章整式的乘法与因式分解,复习课,幂的运算性质,整式的乘法,整式的除法,互逆运算,乘法公式（平方差、完全平方公式）,特殊形式,相反变形,因式分解（提公因式、公式法）,相反变形,知识网络,【例1】计算(2a)3(b3)24a3b4.,【解析】幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除.,【答案】原式=8a3b64a3b4=2a3-3b6-4=2b2.,【例2】计算(-8)2016(0.125)2015.,【解析】此题可先用同底数幂的乘法的逆运算，将（-8）2016化为（-8）（-8）2015，再用积的乘方的性质的逆运算进行计算.,【答案】原式=（-8）（-8）2015（0.125）2015=（-8）（-8）0.1252015=（-8）（-1）2015=8.,【点拨】运用幂的运算公式，可将问题化繁为简，负数乘方结果的符号，奇次方得负，偶次方得正.,【归纳拓展】幂的运算性质包括同底数幂的乘方、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法.这四种运算性质贯穿全章，是整式乘除及因式分解的基础.其逆向运用可以使一些计算简便，从而培养一定的计算技巧，达到学以致用的目的.,【配套训练】1.下列计算不正确的是（）A.2a3a=2a2B.(-a3)2=a6C.a4a3=a7D.a2a4=a82.(1)计算：0.252015（-4）2015-81000.5301；（2）比较大小：420与1510.,D,【答案】（1）原式=0.25（-4）2015-（23）1000.53000.5=-1-（20.5）3000.5=-1-0.5=-1.5；,（2）420=（42）10=1610，16101510,4201510.,【例3】计算：x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)3x2y,其中x=1,y=3.,【解析】在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则.,【答案】原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2)3x2y=(2x3y2-2x2y)3x2y=.,当x=1,y=3时，原式=.,【归纳拓展】整式的乘除法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式以及单项式除以单项式、多项式除以单项式，其中单项式乘以单项式是整式乘除的基础，必须熟练掌握它们的运算法则，整式的混合运算，要按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序进行，有括号的要算括号里的.,【配套训练】(1)一个长方形的面积是a2-2ab+a,宽为a,则长方形的长为；（2）已知多项式2x3-4x2-1除以一个多项式A,得商为2x，余式为x-1,则这个多项式是.,a2-2b+1,【例4】先化简再求值：(x-y)2+(x+y)(x-y)2x,其中x=3,y=1.5.,【解析】运用平方差公式和完全平方公式，先计算括号内的，再计算整式的除法运算.,【答案】原式=(x2-2xy+y2+x2-y2)2x=(2x2-2xy)2x=x-y.当x=3,y=1.5时，原式=3-1.5=1.5.,【归纳拓展】整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，而完全平方公式又分为两个：两数和的完全平方公式和两数差的完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度.,【配套训练】(1)求方程(x-1)2-(x-1)(x+1)+3(1-x)=0的解；（2）已知x2+9y2+4x-6y+5=0,求xy的值.,【答案】(1)原方程可化为-5x+5=0,解得x=1.(2)x2+9y2+4x-6y+5=0,(x2+4x+4)+(9y2-6y+1)=0，(x+2)2+(3y-1)2=0.x+2=0,3y-1=0,解得x=-2,y=,【例5】判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由：(1)a2-4+3a=(a+2)(a-2)+3a;(2)(a+2)(a-5)=a2-3a-10;(3)x2-6x+9=(x-3)2(4)3x2-2xy+x=x(3x-2y)2.,【答案】(1)不是，因为最后不是做乘法运算，不是积的形式；（2）不是，因为从左边到右边是做乘法运算；（3）是；（4）不是，因为令x=2,y=1,左边=10，右边=32，不是恒等变形.这种方法叫赋值法.是一种比较好的方法，希望掌握！,【点拨】（1）多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；（2）判断过程要从左到右保持恒等变形.,【归纳拓展】因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆运算，分解因式的方法主要是提公因式法和公式法，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止.,【配套训练】(1)下列变形，是因式分解的是（）A.a(x+y)=ax+ayB.x2+4xy+y2-1=x(x+4y)+(y+1)(y-1)C.am2-a=a(m+1)(m-1)D.m2-9n2+3=(m+3n)(m-3n)+3.（2）分解因式：（x+y)2-4(x+y-1).,解：原式=（x+y)2-4(x+y)+4=(x+y-2)2.,C,【例6】如图所示，在边长为a的正方形中剪去边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证公式是.,a2-b2=(a+b)(a-b).,【解析】通过图形面积的计算，验证乘法公式，从图形中的阴影部分可知其面积是两个正方形的面积差（a2-b2),又由于图的梯形的上底是是2b,下底是2a,高为a-b,所以梯形的面积是（2a+2b)(a-b)2=(a+b)(a-b),根据面积相等，得乘法公式a2-b2=(a+b)(a-b).,【答案】a2-b2=(a+b)(a-b).,【点拨】数形结合思想是一种重要的数学思想，它为验证某些公式提供了方便.,【归纳拓展】通过应用公式，我们可以把实际问题转化为数学问题，提高了数学的应用性.,【配套训练】我们已知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一个代数恒等式也可以用这种形式来表示，例如（2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用图和图等图形的面积表示.,图,（2）请画一个几何图形，使它的面积能表示（a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2.,（1）请写出图所表示的代数恒等式；,图,【答案】(1)(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2;(2)如图.,整式乘除与因式分解,幂的运算性质,aman=am+n(am)n=amn(ab)n=anbnaman=am-n(m,n都是正整数）,整式的乘除法,单单单多多式单单多单,乘法公式,因式分解,定义,搞清楚与整式乘法的区别与联系,步骤,一提二套三检查,(a+b)(a-b)=a2-b2,(ab)2=a22ab+b2,课堂小结,1.已知（a+b)2=11,(a-b)2=7,则ab等于（）A.1B.-1C.0D.1或-1,A,2.如果4x2+12xy+k是一个关于x、y的完全平方式，则k等于（）A.3y2B.9y2C.yD.36y2,B,3.