求线段和的最小值

求线段和的最小值,三门九年制学校温晓艳,一、复习回顾,一牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A、B处距河岸的距离分别是AC=500m，BD=700m，且C、D两地间距离也为500m，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短牧童应将马赶到河边的什么地点？请你在图中画出来并求出最短路程。,E,（易知RtABC,AE=1200m,BE=500m,可得AB=1300m。）,A,P,模型：,一条直线l；线同侧有两个不同点A、B，要求：在线l上找一点，满足PA+PB最短。,方法：选择合适的一点A，作其关于直线l的对称点A，连接AB，交直线l于点P，此时PA+PB最短。,（1）如图，等边ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AB边上一点.若AE=2,EM+BM的最小值为.,M,析：由图知，B关于AD的对称点为C，连接EC交AD于点M，此时EM+BM最小为EC.,二、教学过程1、在三角形中求线段和的最小值,法一：,F,F,法二：,过点E作EFAD，垂足为F。,由可得EF=1,AF=,FD=.,由可得FM=，MD=.,在中，可得EM=,MC=.因此CE=.,过点E作EFBC，垂足为F。,在RtBEF中，B=60，BE=4.可得EF=,BF=2.,在RtEFC中，FC=4，因此CE=,2、在四边形中求线段和的最小值,（2）、如图，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，ABC=60，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为,P,析：由图知，B关于EF的对称点为C，连接AC交EF于点P，此时PA+PB值最小为AC。,解，由题得D=DAB=120，DA=DC,DAC=DCA=30,BAC=90.在RtABC中，AC=,（3）、如图，菱形ABCD中，AB=2，BAD=60，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为_,P,析：由图知，B关于AC的对称点为D，连接DE交AC于点P，此时PE+PB值最小为DE。,解：BAD=60，菱形ABCDADB为等边三角形，E为AB中点DEAB，在RtDEA中，DA=2,DE=,（4）、如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PBQ周长的最小值为_cm（结果不取近似值）,P,析：PBQ周长=PB+PQ+BQ=PB+PQ+1，要求PBQ周长的最小值即求PB+PQ的最小值。,解：在RtDQC中，DC=2，QC=1，可得DQ=，则PBQ的周长最小值为（）cm。,由图知，B关于AC的对称点为D，连接DQ交AC于点P，此时PB+PQ值最小为DQ。,3、在圆中求线段和的最小值,（5）、如图，MN是半径为1的O的直径，点A在O上，AMN30，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PAPB的最小值为(),P,A,析：作点A关于MN的对称点A，连接AB交MN于点P，此时PA+PB最小为AB.,解：连接OB、OA，AMN30AON60=AON,B为弧AN中点,BON=30，BOA=90.OBA为等腰直角三角形，因此AB=.,4、在反比例函数图象中求线段和的最小值,（6）、如图，正比例函数的图象与反比例函数（k0）在第一象限的图象交于A点，过A点作X轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.求反比例函数的解析式；如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在X轴上求一点P，使PA+PB最小.,解：、,、,5、在二次函数图象中求线段和的最小值,（7）、抛物线顶点为A，与Y轴交点为B。点P是x轴上的一个动点,则PA+PB的最小值是多少？,解：易得A(2,1),B(0,2),作点B关于x轴的对称点B（0，-2）连接AB交x轴于点P,此时PA+PB最小为AB=,检测：,1、如图，在直角梯形ABCD中，ABC90，ADBC，AD4，AB5，BC6，点P是AB上一个动点，当PC+PD的和最小时，PB的长为_2、如图，菱形ABCD中，AB、AD的中点E、F，P为BD上任一点，当P在何处时，PE+PF最小，最小值是多少？3、如图，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为,A,4、如图，AB、CD是半径为5的O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，ABMN于点E，CDMN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为（）。5、如图，在平面直角坐标系