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文档简介
求线段和的最小值,三门九年制学校温晓艳,一、复习回顾,一牧童在A处牧马,牧童的家在B处,A、B处距河岸的距离分别是AC=500m,BD=700m,且C、D两地间距离也为500m,天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水,再赶回家,为了使所走的路程最短牧童应将马赶到河边的什么地点?请你在图中画出来并求出最短路程。,E,(易知RtABC,AE=1200m,BE=500m,可得AB=1300m。),A,P,模型:,一条直线l;线同侧有两个不同点A、B,要求:在线l上找一点,满足PA+PB最短。,方法:选择合适的一点A,作其关于直线l的对称点A,连接AB,交直线l于点P,此时PA+PB最短。,(1)如图,等边ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AB边上一点.若AE=2,EM+BM的最小值为.,M,析:由图知,B关于AD的对称点为C,连接EC交AD于点M,此时EM+BM最小为EC.,二、教学过程1、在三角形中求线段和的最小值,法一:,F,F,法二:,过点E作EFAD,垂足为F。,由可得EF=1,AF=,FD=.,由可得FM=,MD=.,在中,可得EM=,MC=.因此CE=.,过点E作EFBC,垂足为F。,在RtBEF中,B=60,BE=4.可得EF=,BF=2.,在RtEFC中,FC=4,因此CE=,2、在四边形中求线段和的最小值,(2)、如图,等腰梯形ABCD中,AB=AD=CD=1,ABC=60,P是上底,下底中点EF直线上的一点,则PA+PB的最小值为,P,析:由图知,B关于EF的对称点为C,连接AC交EF于点P,此时PA+PB值最小为AC。,解,由题得D=DAB=120,DA=DC,DAC=DCA=30,BAC=90.在RtABC中,AC=,(3)、如图,菱形ABCD中,AB=2,BAD=60,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值为_,P,析:由图知,B关于AC的对称点为D,连接DE交AC于点P,此时PE+PB值最小为DE。,解:BAD=60,菱形ABCDADB为等边三角形,E为AB中点DEAB,在RtDEA中,DA=2,DE=,(4)、如图,在边长为2cm的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则PBQ周长的最小值为_cm(结果不取近似值),P,析:PBQ周长=PB+PQ+BQ=PB+PQ+1,要求PBQ周长的最小值即求PB+PQ的最小值。,解:在RtDQC中,DC=2,QC=1,可得DQ=,则PBQ的周长最小值为()cm。,由图知,B关于AC的对称点为D,连接DQ交AC于点P,此时PB+PQ值最小为DQ。,3、在圆中求线段和的最小值,(5)、如图,MN是半径为1的O的直径,点A在O上,AMN30,B为AN弧的中点,P是直径MN上一动点,则PAPB的最小值为(),P,A,析:作点A关于MN的对称点A,连接AB交MN于点P,此时PA+PB最小为AB.,解:连接OB、OA,AMN30AON60=AON,B为弧AN中点,BON=30,BOA=90.OBA为等腰直角三角形,因此AB=.,4、在反比例函数图象中求线段和的最小值,(6)、如图,正比例函数的图象与反比例函数(k0)在第一象限的图象交于A点,过A点作X轴的垂线,垂足为M,已知三角形OAM的面积为1.求反比例函数的解析式;如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合),且B点的横坐标为1,在X轴上求一点P,使PA+PB最小.,解:、,、,5、在二次函数图象中求线段和的最小值,(7)、抛物线顶点为A,与Y轴交点为B。点P是x轴上的一个动点,则PA+PB的最小值是多少?,解:易得A(2,1),B(0,2),作点B关于x轴的对称点B(0,-2)连接AB交x轴于点P,此时PA+PB最小为AB=,检测:,1、如图,在直角梯形ABCD中,ABC90,ADBC,AD4,AB5,BC6,点P是AB上一个动点,当PC+PD的和最小时,PB的长为_2、如图,菱形ABCD中,AB、AD的中点E、F,P为BD上任一点,当P在何处时,PE+PF最小,最小值是多少?3、如图,已知正方形ABCD的边长为8,点M在DC上,且DM=2,N是AC上的一个动点,则DN+MN的最小值为,A,4、如图,AB、CD是半径为5的O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,ABMN于点E,CDMN于点F,P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小值为()。5、如图,在平面直角坐标系
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