第十讲—空间群

.,第十讲空间群(II)：非点式操作,.,非点式对称操作,螺旋轴：11种，21；31、32；41、42、43；61、62、63、64、65滑移面：a、b、c；n；d,点对称操作：r=Rrr=xa+yb+zcr=xa+yb+zc,空间群操作：r=R|tr=Rr+t(赛兹算符)对非点式操作t=，是单胞的分数平移，而对于点式操作t=0,.,对称轴符号,符号,对称轴,图示符号,沿轴向的右手螺旋平移特征,一次旋转轴,1,一个反演轴,二次旋转轴,二次螺旋轴,三次旋转轴,三次螺旋轴,三次反演轴,2,21,3,31,32,3,1,无,无,无,平行于纸面,无,平行于纸面,无,无,c/2,a/2或b/2,c/3,2c/3,.,对称面符号,.,复习：,点对称操作、7种晶系、32种点群、14种布拉菲格子、点式空间群,.,1(E),2(C2),3(C3),4(C4),6(C6),1(i),2(),m,3(S65),4(S43),6(S35),(C41,C42,C43,C44),(C61,C62,C63,C64,C65,C66),(C31,C32,C33),(h,v,d),点对称操作,!,(C21,C22),.,镜面m001，反映,恒等1,附录1,.,对称条件,晶系,特点,四个三次轴,三斜,单斜,正交,四方,三方,六方,立方,abc,abc,=90o,abc,=90o,a=bc,=90o,a=bc,=90o,=120o,a=b=c,=90o,a=b=c,=菱形,a=bc,=90o,=120o,全对称点群,2/m,mmm,4/mmm,6/mmm,m3m,.,1(L1),m(P),2(L2),2/m(L2PC),222(3L2),mm2(L22P),mmm(3L23PC),422(L44L2),4/mmm(L44L25PC),4mm(L44P),4/m(L4PC),4(L4),622(L66L2),6/mmm(L66L27PC),6mm(L66P),6/m(L6PC),6(L6),23(3L24L3),m3(3L24L33PC),432(3L44L36L2),m3m(3L44L36L29PC),3(L3),3m(L33P),32(L33L2),32种点群及其点对称操作,.,4/mmm(L44L25PC),6/mmm(L66L27PC),m3m(3L44L36L29PC),4/mmm(L44L25PC)E,2C4,C2,2C2,2C2”,h,2v,2d,i,2S4,6/mmm(L66L27PC)E,2C6,2C3,C2,3C2,3C2”,h,3v,3d,i,2S3,2S6,m3m(3L44L36L29PC)E,8C3,3C2,6C4,6C2,3h,6di,8S6,6S4,附录4,.,点群各符号的顺序,晶系,在国际符号中的位置,1,2,3,三斜,单斜,正交,四方,三方,六方,立方,只用一个符号,第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴,.,从旋转点群推导32种点群点群的熊夫利斯符号,11种纯旋转群：,12346,22232422622,23432,C1C2C3C4C6,D2D3D4D6,TO,循环点群,二面体点群,立方点群,11种中心对称点群：,m3m3m,S2C2hS6C4hC6h,D2hD3dD4hD6h,ThOh,mmm3m4/mmm6/mmm,10种新子群：,C1hS4C3h,C2vC3vC4vD2dC6vD3h,Td,m,mm2,4,6,3m,4mm42m,43m,6mm6m2,.,4/mmm(L44L25PC),E;2C4;C2;2C2;2C2”;i;2S4;h;2v;2d,完全的国际符号：4/m2/m2/m,去对称心,4mm(L44P),.,推导32种点群的熊夫利斯方案熊夫利斯符号,五种循环群Cn(5种),Cnh=CnE,h(5种),Cnv=CnE,v(4种,C1v=C1h),非真旋转Sn(3种，n=2,4,6),Dn=CnE,C2100(4种),Dnh=CnhE,d(4种),Dnd=S2nE,C2100(n=2,3共2种),立方点群(无主轴）5种:T,Th,Td,O,Oh,.,1(C1),m(C1h),2(C2),2/m(C2h),222(D2),mm2(C2v),mmm(D2h),422(D4),4/mmm(D4h),4mm(C4v),4/m(C4h),4(C4),622(D6),6/mmm(D6h),6mm(C6v),6/m(C6h),6(C6),23(T),m3(Th),432(O),m3m(Oh),3(C3),3m(C3v),32(D3),32种点群符号,.,30o,45o,.,3(L3),3m(L33P),32(L33L2),3(L3C),3m1,31m,321,312,.,第八讲14种布拉菲格子,旋转对称性,晶系、参考轴初基P单胞(6),有心化,新的点阵(有心8种),满足点阵条件+晶系不变,P点阵中高对称位置加心(体心I,全面心F,单面心A,B或C双面心),14种布拉菲点阵,旋转对称性,.,立方P,立方I,bcc,立方F,fcc,四方I,四方P,四方晶系,立方晶系,四方C=PAB,四方F=I,单面心破坏4个3次对称性！非点阵,非点阵,.,.,何种格子、何种基元？,晶体结构=点阵(布拉菲格子)+基元(点群),.,.,晶系,点群,布拉菲点阵,73种点式空间群,三斜,单斜,正交,四方,三方,六方,立方,P,P,P,P,P,P,P,1,1,m,2,2/m,222,mm2,mmm,42m,4,422,4/mmm,4mm,4/m,4,3m,3,3m,32,3,622,6/mmm,6mm,6/m,6,62m,6,23,m3,432,m3m,43m,P1,P1,Pm,P2,P2/m,P222,Pmm2,Pmmm,P42m,P4,P422,P4/mmm,P4mm,P4/m,P4,P31m,P3,P3m1,P312,P3,P23,Pm3,P432,Pm3m,P43m,Bm,B2,B2/m,C222,Cmm2,Cmmm,I222,Imm2,Immm,F222,Fmm2,Fmmm,Amm2,B,C,I,F,I,P4m2,I42m,I4,I422,I4/mmm,I4mm,I4/m,I4,I4m2,R,R3m,R3,R3m,R32,R3,P321,P3m1,P31m,P6m2,P6,P622,P6/mmm,P6mm,P6/m,P6,P62m,I,F,I23,Im3,I432,Im3m,I43m,F23,Fm3,F432,Fm3m,F43m,.,空间群：结晶学空间群就是能使三维周期物体(无限大晶体)自身重复的所有几何对称操作的集合，它构成数学意义上的群。,晶体的宏观外形可视作一个连续整体的有限图形，而晶体微观结构是不连续排列的原子在三维空间的无限展开。晶体宏观对称性是晶体结构(原子排列对称性)即微观对称的反映。点群中对称要素必须交于一点，只有方向的概念。微观对称性中对称要素无须交于一点，要引入平移和位置的概念。,第九讲空间群(I)：点式空间群,.,非点式对称操作,螺旋轴：11种，21；31、32；41、42、43；61、62、63、64、65滑移面：a、b、c；n；d,点对称操作：r=Rrr=xa+yb+zcr=xa+yb+zc,空间群操作：r=R|tr=Rr+t(赛兹算符)对非点式操作t=，是单胞的分数平移，而对于点式操作t=0,.,点式空间群：由全部作用于同一个公共点上的对称操作完全确定，或者说仅由点对称操作和平移对称操作组合而产生。螺旋轴或滑移面不是其基本操作。点式空间群在单胞中一定至少有一个位置具有与空间群点群相同的位置对称性,空间群操作：r=R|tr=Rr+t(赛兹算符)对非点式操作t=，是单胞的分数平移对于点式操作t=0R|t、1|tn、R|0、R|,.,P1,a,b,c,1|tn,.,.,P2,.,P2/m,反映面，镜面,.,Pm,.,Bm,1/4,单斜B,滑移面,.,P222,纸面内二次轴,.,C222,螺旋轴,21,.,Pmm2,反映面,.,Pmmm,.,P4,.,.,.,.,P422,螺旋轴,21,.,P4mm,.,P3,.,P6,.,第十讲空间群(II)：非点式操作,.,360o/n(n=1,2,3,4,6),1(E,L1),2(C2,L2),3(C3,L3),4(C4,L4),6(C6,L6),旋转轴，n,点对称操作,.,2(C2,L2),二次螺旋轴,21,2,21,螺旋操作：螺旋操作是一种对称操作，它是由真旋转与平行于旋转轴的非初基平移结合而成的。RIr=Rr+,.,三次螺旋轴,31,32,三次旋转轴,三次螺旋轴,三次反演轴,3,31,32,3,无,无,c/3,2c/3,3(C3,L3),3,1/3+,2/3+,31,32,.,4(C4,L4),+,+,4,.,六次螺旋轴,6(C6,L6),61,65,62,63,64,6,.,(41)1,(41)2,(41)3,(41)n,(41)2,(42)1,.,滑移面：滑移面是由非真旋转2(m)与非初基平移结合而成的新对称操作，同样可由赛兹算符RIr=Rr+描述。晶体中有三种不同的滑移面：轴滑移、对角线滑移、金刚石滑移。,轴向滑移：平移矢量平行于反映面(方向?)，大小是单胞轴长的一半。有a滑移、b滑移、c滑移。,a,b,a/2,a/2,a,b,b/2,b/2,a/2,a/2,n滑移,a滑移,b滑移,滑移面的方向由空间群符号确定！,.,对称轴符号,符号,对称轴,图示符号,沿轴向的右手螺旋平移特征,一次旋转轴,1,一个反演轴,二次旋转轴,二次螺旋轴,三次旋转轴,三次螺旋轴,三次反演轴,2,21,3,31,32,3,1,无,无,无,平行于纸面,无,平行于纸面,无,无,c/2,a/2或b/2,c/3,2c/3,符号,对称轴,图示符号,沿轴向的右手螺旋平移特征,四次旋转轴,4,四次反演轴,四次螺旋轴,六次旋转轴,六次螺旋轴,六次反演轴,43,6,61,65,无,无,无,c/4,c/6,