材料力学--弯曲变形ppt

第八章弯曲变形,8-1梁的位移-挠度和转角,一.工程实例,在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作，如摇臂钻床。,CL9TU1,桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。,CL9TU2,另外一些情况却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要,例如车辆上的板弹簧。缓解车辆受到的冲击和振动作用。,1.挠曲线(平坦的曲线）,二、弯曲变形的基本概念,2.挠度和转角,规定:y正向的挠度为正，顺针向的转角为正。,挠曲线方程：,转角与挠度w关系：,挠度w：横截面形心处的铅垂位移。,转角：横截面绕中性轴转过的角度。,曲线的曲率为,梁的挠曲线近似微分方程式：,1.曲率公式,2.曲率与弯矩的符号关系,如图：w”与弯矩的符号相反。,8-2梁的挠曲线近似微分方程式,数学,材力,式中积分常数C、D由边界条件和连续条件确定,3.积分法求梁的挠曲线方程,梁的挠曲线近似微分方程:,要求：,（1）约束处满足边界条件,（2）梁中间的点满足连续与光滑条件,弯矩分段,要分段积分,边界条件,光滑连续条件：,C,试求图示悬臂梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。梁的EI为常量。,例题5-1,1.列挠曲线近似微分方程，并积分。该梁的弯矩方程为,挠曲线近似微分方程为,通过两次积分得,(b),例题5-1,解:,2.确定积分常数，并求转角方程和挠曲线方程,转角方程,挠曲线方程,由(3)、(4)两式得,该梁的边界条件为：在x=0处w=0，w=0,将C1和C2代入(3)、(4)两式，得,例题5-1,根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值，描出挠曲线的示意图(图c)。,转角方程,挠曲线方程,(c),例题5-1,由挠曲线可见，该梁的qmax和wmax均在x=l的自由端处。由(5)、(6)两式得,2.求qmax和wmax,(c),例题5-1,3.由此题可见，当以x为自变量对挠曲线近似微分方程进行积分时，所得转角方程和挠曲线方程中的积分常数是有其几何意义的：,此例题所示的悬臂梁，q0=0，w0=0，因而也有C1=0，C2=0。,例题5-1,二.算例,例8-1已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和wmax。,CL9TU5,解：,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,A,B,由边界条件：,得：,试求图示简支梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。梁的EI为常量,例题5-3,约束力为,两段梁的弯矩方程分别为,为了后面确定积分常数方便，列弯矩方程M2(x)时仍取x截面左边的梁段为分离体，使方程M2(x)中的第一项与方程M1(x)中的项相同。且不要把M2(x)中的F(x-a)展开。,1.分段列弯矩方程,例题5-3,解:,2.分别列梁的挠曲线近似微分方程，并积分：,例题5-3,值得注意的是，在对右段梁进行积分运算时，对于含有(x-a)的项是以(x-a)作为积分变量进行积分的，因为这样可在运用连续条件，x=a时，w1=w2及w1=w2，由(1)、(1)和(2)、(2)式得C1=D1，C2=D2。,3.确定积分常数,例题5-3,再利用支座位移条件，即：在x=0处w1=0，在x=l处w2=0,由两个连续条件得：,例题5-3,将x=l，代入(2)式，得,即,从而也有,例题5-3,将C1、C2、D1、D2代入(1)、(1)和(2)、(2)式得两段梁的转角方程和挠曲线方程如下：,4.建立转角方程和挠度方程,例题5-3,左、右两支座处截面的转角分别为,当ab时有,5.求qmax和wmax,例题5-3,根据图中所示挠曲线的大致形状可知，当ab时，最大挠度wmax可能发生在AD段的=0处，令，得,ab时，x1a，可见w发生在AD段，即wmax发生在AD段。,例题5-3,将x1的表达式(6)代入左段梁的挠曲线方程(4),得,例题5-3,由(7)式还可知，当集中荷载F作用在右支座附近时，b值甚小，以致b2和l2相比可略去不计，则有,它发生在处。而处(跨中点C)的挠度wC为,6.求wmax的近似表达式,例题5-3,当集中荷载F作用于简支梁的跨中时(a=b=l/2)，最大转角qmax和最大挠度wmax为,可见在集中荷载作用于右支座附近这种极端情况下，跨中挠度与最大挠度也只相差不到3%。因此在工程计算中，只要简支梁的挠曲线上没有拐点都可以用跨中挠度代替最大挠度。,例题5-3,当分两段建立挠曲线近似微分方程时，为确定积分常数简便，必须遵守以下规则：(1)列每段的弯矩方程时，均以x截面左面的梁段为分离体。第II段的弯矩方程中含有(x-a)的项，不能展开。(2)对第II段的挠曲线近似微分方程进行积分时，均以(x-a)作为积分变量。这样，在利用位移连续条件后，将4个积分常数简化为2个，否则将用4个方程联立求解4个积分常数。,例题5-3,思考:试绘出图示两根简支梁的弯矩图，并描出它们的挠曲线。并指出：(1)跨中挠度是否最大？(2)跨中挠度的值是否接近最大挠度值？,例8-2已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和wmax。,CL9TU7,解：,由边界条件：,得：,由对称条件：,得：,AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,讨论：,例8-3：已知梁抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定max和wmax。,CL9TU5,解：由对称性，只考虑半跨梁ACD,由连续条件：,由边界条件：,由对称条件：,注意：,1.分段连续弯矩