数学分析 第三章 极限与函数的连续性01

第三章极限与函数的连续性,一割圆术：,刘徽（公元3世纪，魏晋时代，九章算术）利用圆内接正多边形来计算圆的面积，把正n边形的面积记为Sn,当n越来越大时，Sn越接近于圆的面积。,即：求圆的面积就要看当n无限增大时，Sn的变化趋势这就是数列的极限。,1极限问题的提出,如图所示,可知,二瞬时速度,以前（中学）一般讨论平均速度：需讨论一个运动的物体在某一时刻t的速度（设为瞬时速度）,2数列的极限,定义域为正整数的函数称为数列，,记为xn,即有,xn是数列的第n项,，也叫做数列的通项。,数列也可表示为,定义3.1,写出来就是,写出来就是,写出来就是,例如,1、极限的概念,=,=,例1,例2,无限增大时，,越变越小，无限的接近于1，因此,的极限是1。,当,例3,=,并不无限接近一个常数，因此说它没有极限。,当,无限增大时，,也无限增大，,一个常数，因此也没有极限。,它在0和2两个数中不停的跳动，,前三个数列的特点：当,无限增大时，,的值无限地接近某个数.,例4，例5中的数列没有极限。,“当,无限增大时，,无限接近于,”是什么意思?,例5,例4,也不是无限地接近,分别对,(只要n10),0.001,(只要n1000),尽管,“很小”，但毕竟是确定的数。要描述,可以任意小，必须对任意的（无论多么小）的正数都能做到，,才行。这也能够做到。从,可知只要,即可。也就是说取,，当,时，,即从第,项以后的所有项都满足,例：,都可以做到.,综上：“当,无限增大时，,无限接近于0”的实质是：对任意给定的,（无论它多么小），总存在一个正整数,（例取,），,时，,.将上面的语言抽象化，有下面定义：,正数,当,是一数列，,是一实数，若对于任意给定的正数,存在正整数,，当,时，都有,则称,为数列,收敛，且收敛于,记为,或,的极限。或数列,定义3.2,没有极限的数列称为发散数列。,的极限为,”的几何意义,“数列,（不一定去找满足要求的最小的）,几点说明：,1.使用邻域概念：开区间,称为,的,邻域，记为,对任意给定的,，存在,，当,时，,定义中,必须具有任意性：这样才能保证,与,但为表明渐近过程的不同阶段，,又具有相对固定性。即,是通过无限多个相对固定性表现出来的。,的无限接近，,的任意性,这就是任意与固定的辨证关系。,的某个函数也可有同样作用。,3.,2.,定义中，自然数不是唯一的。若存在,满足要求，,任一自然数都能起到,的作用，,则比,大的,所以强调自然数的存在性,4.,下面看几个例子：,证明,例6,，证明,证法1：若,，结论显然成立。故不妨设,对任意给定的,，不妨设,，要使,，即,只要,，令,，则当,时，有,.这就证明了,设,证法2：,由,知存在,，使得,，从而,对任给的,，要使,，只要放大后的,.因此取,，则当,时，有,这就证明了.,不妨设,例7,极限为0的数列称为无穷小量。,下面给出非常重要的定义：,的极限为,的充要条件是：,是无穷小量。,命题3.1,定义3.3,值得注意的是,无穷小量是一数列,而不是一个很小的常数.,由极限的定义显然有,以a为极限等价于数列,以0为极限.我们把它写成下面的命题,从前面的例子可见，,的过程，,出发，看满足条件的,是否存在。我们只要找到一个就可以了，不管用的是什么方法。,适当放大到,于是我们很容易找到,当然放大要适当，要保证把,放大后仍然是无穷小量。,整个证明过程实际上是找,采用的是反推法，,即从,证明2用的是适当放大法，它将,证明,证明：若,结论显然成立。,.记,，则,因此,对任意给定的,，不妨设,，取,，则当,时，有,最后设,。这时存在,使,，因此,由于,，故对任意给定,，存在,，当,时，有,这样我们证明了当,时，总有,设,例8,证明,证明：当,时，,对任意给定的,，取,则当,即,时，有,例9,2、极限的四则运算与性质寻找求极限的方法,则,定理实际上说的是：极限运算和四则运算可以交换次序。,设,定理3.1,给出收敛数列的两个性质：,称数列,有界，若存在正数,对一切的,成立，等价于：若存在,，使得,，又称,分别为,的下、上界。,，使得,定义3.4,（有界性）有极限存在的数列必有界。,定理3.2,若,无界，则,发散。,推论3.1,证明,设数列,有极限a.由定义，对,则存在N,当,，时有,因此,令,则,这就证明了,是有界的。,证明：由,知对,，存在N,当nN时，有,，从而,证毕。,（保号性）若,，则存在N，当,时，有,设,若,则存在,，当,时，有,若,则存在,，当,时，有,证明：,由,知对,存在,当,时，有,即有,推论3.2,定理3.3,定理3.1的证明：,对任意,，有,任给,，由,及,由定理3.2，知存在,，使,又知存在,，当,时，有,并存在,，当,时，,令,则当,时，有,这就证明了,有,根据极限定义，,由,，根据推论3.2，存在,，当,时，有,从而当,时，有,已知,由极限定义，对任意给定的,存在,，当,时，有,存在,，当,时，有,若,，是常数，则,若,是无穷小量，,是有界数列，则,是无穷小量。,由定理3.1知，无穷小量的代数和、积仍是无穷小量。,推论3.3,定理3.4,令,则当,时，有,这就证明了,求,解因为,，,是有界数列，,例10,而,所以,求,解,例11,更一般的，若,是正整数，,则,（保序性）若,，且,则存在,当,时，有,（用定理3.3的证明方法）对,，由,知存在,当,时，有,则有,又由,知存在,，当,时，有,则有,，则当,时，有,令,，则,由定理3.3知,存在,当,时，有,即,，这又证明了定理3.5,证法2,证法1,定理3.5,令,（用定理3.3的结论）,定理3.6（极限不等式）,若对任意的正整数n，有,且,则,证明用反证法。如果不然,设,，当,，与假设条件矛盾，故必有,则由定理3.5，存在,时,有,如果条件,注意到数列的前有限项并不影响数列的极限，因此定理3.6的条件可以减弱为“存在，当时,有,改为,并不能得到,的结论。,例如,，,可见结论也只能得到,定理3.6表明，在极限存在的前提下，可以在不等式两边取极限，但千万不要忘记“带上等号”。,但,定理3.7（唯一性）,若数列极限存在，则极限是唯一的,证明,用反证法。如果不然，设,有极限a和b，,不放设,对,，存在,，当,有,时,同样存在,，当,时,有,故当,时，有,这是不可能的，这就证明了极限的唯一性。,定理3.8.夹迫性,证:,由条件(2),当,时,当,时,令,则当,时,有,故,例12,设,其中,求证,证明,由于,而,由定理3.8即得,例13,证明,证法1,当,时，,令,其中,这时,因此,故,已知,由定理3.8得,时，由平均值不等式得,而由定理3.8得,当,证法2,（单调有界原理单调有界数列存在极限）,(要证有极限，到目前只能用定义才可能可行，,，然后再证这个数就是,的极限.),单调上升有上界的数列必有极限。,单调下降有下界的数列必有极限,证明：设数列,单调上升有上界,一个合适的数,如何确定?想到实数基本定理。,定理3.9,故要先确定,需要构造实数得一个分划：A|B,令B是,全体上界组成的集合，即,取A=RB,则A|B是实数R的一个分划：事实上,不空：,有上界，知B不空，又,单调上升，故,不是,的上界,所以,任取,（往证),因a不是,的上界，所以存在,使,，又b为,的一个上界，故,，所以,由,，即A也不空,由A=RB知A，B不漏,不漏：,不乱：,根据实数基本定理，存在,，使得对任意,，有,下证,任给,（要证：,，当,时，,）,由于,，即,不是,的上界，故存在N，使,，又,单调上升,所以当,又,，即,为,的一个上界，故对任意n，有,所以当,时，有,，即,这就证明了,单调有界原理只断言极限存在，而没有给出如何求出极限。但即使只给出极限的存在性，有时已能提供计算的方法。,设,求,的极限。,例14,解显然,单调上升，下面用数学归纳法证明,有上界.,.若,则,故,从而必有极限。设极限为a，由,令,，即得,解得,或,由于,，故必有,。舍去,故,单调上升有上界，,显然,注:上述例14中的数列是一个递推数列（迭代数列），一般定义,在求此数列的极限时，极限存在性的前提是非常重要的。,，它的极限不存在，但是它满足,，令,两边取极限，使得,即,最后看单调有界原理的一个重要结果，,例如,考察数列,，这显然是荒谬的结论,证明数列,的极限存在.,记这一极限为e，即,例15,证明见45页,注:前面从几个方面（特别是定义）叙述,的极限是,如何用肯定的语气叙述“,不是以,为极限”,对照极限的定义，根据任意与存在的对应规则，逐步分解来找：,对任给,，存在N，当,时，,不成立,存在某个,不存在N，使当,时，,存在,存在,，满足,但,总之：,存在,，对任意的N，存在,使,不成立”?,对任意的N，,或“,无穷大量,3、,在发散的数列中，有一种特殊的数列：当,无限增大时，,也无限增大。,例如：,我们称这种数列为无穷大量，仿,语言，有定量化的定义。,定义3.4,设,是一数列，若对于任意给定的G0，,时，有,则称,是无穷大量,或,存在正整数N，当,记为,从几何上看，无穷大量是指任意给定区间,必然从某项,起，后面的所有项都落在区间,之外。换句话说，数列,至多有N项,落在区间,之中。,证明,对任意给定的G0,不妨设G2，要使,即,只要,令,，则当,时，有,，即,是无穷大量.,和,的定义，分别称,为正穷大量和负无穷大量.,例16：,是无穷大量。,证明,类似给出,例17,证明,证明,对任意给定的,，不妨设,，要使,，只要,取,，则当,时，有,故,非无穷大量的肯定叙述：,使,由此证明：1，0，2，0，3，0，,n，0,不是无穷大量。,无穷大量的运算法则和性质：,1、无穷大量和无穷小量的