数学计算机专升本复习课

试卷题型,一、选择题（共10题，每题2分，共20分）,二、填空题（共5题，每题3分，共15分）,三、计算题（共7题，每题7分，共49分）,四、证明题（共1题，每题7分，共7分）,考试时间：2011年1月16日9:0011:00,2小时,五、综合题（共1题，每题9分，共9分）,复习课,第一章函数与极限,1.函数基础知识，了解,2.极限(会求极限,不需证明),（1）极限运算法则,3.无穷小定义及比较无穷小,（2）极限存在定理,（3）两个重要极限（变形）,4.函数的连续性,（1）判断连续性（分段函数）、间断点,（2）闭区间上连续函数性质,第二章导数与微分,1.导数的概念,（1）导数的定义、几何意义,（2）用定义判断分段函数的可导性,2.求导法则,（1）基本公式、四则运算法则与复合函数求导法则,（2）隐函数与参数方程确定的函数求导法则,（3）高阶导数,3.微分概念,（3）微分定义（如何求微分）,第三章导数的应用,掌握运用洛必达法则求未定式极限,1.洛必达法则,2.函数性态的研究,（1）单调性判定（应用）,（3）凹凸性与拐点,（2）函数极值、最值,（4）曲率（曲率半径）,第四章不定积分,4-1不定积分的概念与性质,4-2不定积分的基本公式,4-3两种积分法,第五章定积分及其应用,5-1定积分的概念,5-2定积分的简单性质,5-3定积分的计算,5-5反常积分,看例题、做习题,第六章定积分的应用,1.平面图形的面积（直角坐标）,2.立体体积（旋转体体积）,第七章微分方程,1.基本概念（了解）,2.可分离变量的微分方程,3.齐次方程,4.一阶线性微分方程,5.可降阶的二阶微分方程,6.二阶常系数齐次线性微分方程,练习题,P49123,P5612,P652,P706,P7510,P871013141617,P9867811,P1031,P1111,P1233,练习题,P1381,P152358,P16314,P2072,P212,P25317,P2601,P28412111215,P30412,P31512,P32312,P3401,P177123,P2435,预祝大家期末考试顺利！,极限的四则运算法则,定理,极限的运算,返回,定义,以零为极限的函数(或数列)称为无穷小.,无穷小有如下性质：,（1）有限个无穷小的和、差、积以及常数与无穷小的乘积均为无穷小。,（2）有界变量与无穷小的乘积仍为无穷小。,常用等价无穷小:,定义:,返回,1.夹逼准则,2.单调有界准则,具体：单调增加有上界，或单调减少有下界。,返回,定理,基本初等函数在其定义域内都是连续的.,一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,初等函数求极限的方法：代入法.,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,间断点,返回,定理4(有界性与最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上有界且能取得最大值和最小值.,闭区间上连续函数的性质,返回,二、导数的定义,定义,1.函数在一点处的导数与导函数,其它形式,导数定义形式一,导数定义形式二,右导数:,单侧导数,左导数:,三、导数的几何意义,切线方程为,法线方程为,返回,1.常数和基本初等函数的导数公式,2.函数的和、差、积、商的求导法则,3.复合函数的求导法则,返回,例,解,方程两边关于x求导,得,解得,由参数方程所确定的函数的导数,返回,定义,导数也称为“微商”.,返回,在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量或同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不存在，这种极限称为未定式，记为,洛必达法则是求函数极限的一种重要方法.,说明：,返回,定理,单调性判断定理,例5,证,利用函数的单调性证明不等式,由连续函数的零点存在定理知，,利用函数的单调性讨论方程的根。,例7,证,返回,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,注：极值是局部性的概念,极大值不一定比极小值大.,定理1(必要条件),导数等于零的点称为驻点.,对可导函数来讲,极值点必为驻点,但驻点只是极值点的必要条件,不是充分条件.,定理2(极值存在的第一充分条件),一阶导数变号法,定理3(极值存在的第二充分条件),称为“二阶导数非零法”,说明：,(1)此法只适用于驻点,不能用于判断不可导点；,求最值方法：,返回,定理,凹凸性判断定理,返回,曲率的计算公式,返回,定义,记为,定义,返回,(k是常数);,基本积分表,基本积分表,基本积分表,返回,一般地，凑微分法步骤如下：,第二类换元法,凑微分,分部积分法,返回,二、定积分的定义,定义,记为,积分上限,积分下限,积分和,返回,在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小,性质1,（此性质可以推广到有限多个函数和的情况）,性质2,(k为常数),性质1,2合称线性性.,定积分的性质,说明：不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立.,性质3,性质4,性质5,推论1,推论2,性质6（估值定理）,性质7（定积分中值定理）,返回,定理1(微积分基本定理),构作积分上限函数,定理3(微积分基本公式),牛顿莱布尼茨公式,定积分的分部积分法,定理,54,定理,则有,定积分的换元法,返回,曲边梯形求面积的问题,曲边梯形求面积的问题,返回,体积问题,a,b,体积问题,返回,一、无穷限的广义积分,定义,类似地，,二、无界函数的广义积分,定义,如果极限,即,存在,则称广义积分收敛,即,返回,为微分方程的通解.,两边积分,为可分离变量的方程.,称,则,返回,齐次方程,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,作变量代换,代入原式得,1.定义,两边积分即得通解.,注意：须将u代回.,返回,齐次方程的通解为,1.线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,使用分离变量法,2.线性非齐次方程,常数变易法,把相对应的齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质:未知函数的变量代换.,作变换,积分得,所以一阶线性非齐次微分方程