高考数学总复习 第2章§2.13定积分和微积分基本定理精品课件 理 北师大

2.13定积分和微积分基本定理,2.13定积分和微积分基本定理,考向瞭望把脉高考,考点探究挑战高考,考向瞭望把脉高考,双基研习面对高考,双基研习面对高考,f(x)dx,2定积分的性质,kf(x)dx,3微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么f(x)dx_，这个结论叫作微积分基本定理，为了方便，我们常把F(b)F(a)记成_，即f(x)dxF(x)|baF(b)F(a),F(b)F(a),F(x)|,4定积分的几何意义(1)当函数f(x)在区间a，b上恒为正时，定积分f(x)dx的几何意义是由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积(图1阴影部分),(2)一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线xa、xb之间的曲边梯形面积的和(图2阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,思考感悟,你能用定积分的几何意义解释其性质(2)吗？,提示：如图所示，设在区间a，b上恒有f(x)0，c是区间(a，b)内的一点，那么从几何图形上看，直线xc把大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此，大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即SS1S2，用定积分表示就是性质(2),答案：C,答案：D,4(原创题)定积分(2xx3)dx的值为_答案：05已知t0，若dx6，则t_.答案：3,考点探究挑战高考,利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数,求下列定积分：,【思路点拨】先由定积分的性质将其分解为简单的定积分问题再求解,【名师点评】利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数；此外，如果被积函数是绝对值数或分段函数，那么可以利用定积分的性质f(x)dxf(x)dxf(x)dx，根据函数的定义域，将积分区间分为几部分，代入相应的解析式，分别求出积分值，相加即可,变式训练1计算以下定积分：(1)(2x2)dx；(2)(sinxsin2x)dx；(3)|32x|dx.,利用定积分求平面图形面积的关键是画出几何图形，结合图形位置，确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值,【思路点拨】需根据面积求出切点坐标这又需要画出函数yx2(x0)及切线的图形，再根据定积分的几何意义，求函数yx2(x0)的定积分，从而确定相关图形的面积，即可求出切点坐标，其他问题便可顺利解决,【名师点评】用定积分计算平面区域的面积，首先要确定已知曲线所围成的区域，由区域的形状，选择积分函数，再确定积分上、下限，当计算公式S|f(x)g(x)|dx中的f(x)或g(x)是分段函数时，面积要分块计算,应用导数与定积分求面积的最值，其基本思路是：将面积表示成某个变量的函数，利用函数的有关知识求解；如果常规方法不容易求出，不要忘记用定积分求曲边梯形的面积；如果阴影部分的边界不同，可分不同情况讨论来解决,如图，已知曲线C1：x2与曲线C2：yx22ax(a1)交于点O，A，直线xt(0t1)与曲线C1，C2分别相交于点D，B，连结OD，DA，AB.(1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关系式Sf(t)；(2)求函数Sf(t)在区间(0,1上的最大值,【思路点拨】(1)曲边四边形ABOD分为ABD和曲边三角形ODB，求出A，B，D三点的坐标，可求面积(2)可利用导数求最大值,方法技巧,1求定积分的方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强(2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；计算F(b)F(a)(如例1),2求曲边多边形的面积其步骤为：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像(2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限(3)将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和(4)计算定积分(如例3),失误防范,1被积函数若含有绝对值号，应去绝对值号，再分段积分2若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量3定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限4定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负5将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷,考向瞭望把脉高考,定积分是高考的知识点之一，内容要求较低，考查重点是定积分的简单计算与应用，题型均为小题，难度中低档预测2012年高考将与线性规划，几何概型等与面积有关问题综合考查定积分的简单应用，重点考查计算能力与数形结合思想,(2010年高考陕西卷)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为_,【名师点评】(1)本题易失误的是：求不出阴影部分的面积；在求阴影部分面积时，将积分上限误认为“3”；不能正确求出被积函数原函数，对微积分基本定理认识模糊，运算能力差等都会导致本题出错,(2)根据微积分基本定理计算定积分的关键是找到一个函数，使这个函数的导数等于被积函数，记准基本初等函数的导数公式能帮助我们快速找到与被积函数对应的原函数，同时还要合理地利用定积分的性质和函数的性质简化计算,(3)求一些曲边图形的面积可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数ysinx，x0,2的图像与x轴围成的图形的面积为4，而其定积分为0.,1如图所示，