第三章随机信号的功率谱估计.ppt

1,第三章随机信号的功率谱估计,郑宝玉,2,内容,随机信号的特征经典谱估计与现代谱估计参数模型法概述基于AR模型的谱估计法最大熵谱估计算法最小方差谱估计基于矩阵特征分解的谱估计高阶谱估计,3,最大熵谱估计算法,Levinson算法Berg算法,4,Levinson算法,MEM的核心是求解如下方程：,这个方程实际上是联合AR模型法和预测滤波法得出的。我们发现，方程(1)有如下特点：系数矩阵是一个Toplitz矩阵，利用Toplitz矩阵的性质可简化方程求解。实际问题中，一般只知道信号的某些观测值，而不知道其AR模型阶数，该阶数也需要在方程求解过程中找到。下面介绍两种算法。,引言,5,Levinson算法,原理假设已得到k阶线性预测系数(预测滤波参数)，我们来考虑求k1阶滤波参数。k阶滤波参数的矩阵方程为,由于系数矩阵的Toplitz性质，上式又有如下形式,6,Levinson算法,现考虑模型阶数增加1,即从k变为k+1的情况。对于k+1模型,有,由于系数矩阵的Toplitz性质，k+1阶系数矩阵可有两种分块形式。,7,Levinson算法,利用这个性质，可设,式中,8,Levinson算法,比较(3)和(4)，可知，当,(3)与(4)等效；且有下列两个递推关系式：,即当下式成立时,和,由(8)末式还可得：,(5)(10)构成Levinson算法基础。,9,Levinson算法,现用i表示递推过程的阶数，令i=k+1,并设信号模型的最大阶数为N，则有如下Levinson算法:1)由(3)式，令i=k+10，得2)置i=k+11;3)由(8)、(10)式计算4)由(7)、(10)式计算5)由(6)、(7)和(10)式计算6)置i=i+1;7)判别：若转3)；否则，结束程序。,算法,10,Levinson算法,讨论,Levinson算法第4步利用了一个重要递推关系(12)，通常称为Levinson关系式递推过程产生一个滤波参数序列通常称为偏相关系数递推过程产生的可用来监视i阶信号模型的均方误差估值。递推结果的最终解为和,递推过程及结果,11,Levinson算法,讨论,优点：计算简单缺点：需根据有限观测数据估计自相关序列r(n)短数据序列时，自相关估计值误差很大，引起预测滤波参数误差，导致“谱峰飘移”和“谱线分裂”(即出现虚假谱线)长数据序列时，自相关估计值虽精确，但计算量大。,优缺点,12,Berg算法,前向预测与后向预测考虑信号序列值：,前向预测,后向预测,前向预测误差：,后向预测误差：,其中分别为p阶前、后向预测系数。,13,Berg算法,Berg算法原理,根据前面的基本概念，可知m阶前向预测误差为,类似地，m阶后向预测误差为,再利用Levinson关系式：,有,其中,14,Berg算法,Berg算法原理（续）,定义m阶前、后向预测误差的功率为,将(16)代入(17)，并令Pm对的偏导数为零,得最佳,15,Berg算法,Berg算法,设已知有限数据序列x(n),n=0,1,N，则可按下列步骤计算预测滤波器系数，并在此基础上计算功率谱。1.置m=0,计算初值,2.m=m+1,并按(19)计算反射系数,3.计算滤波器系数：,4.计算预测误差功率Pm：,5.按(16)式计算滤波器输出,6.置m=m+1,并重复步骤(2)-(5),直到m=p。,16,Berg算法,Berg算法（续）,最后，由Berg算法估计的滤波器系数,计算功率谱密度：,17,内容,随机信号的特征经典谱估计与现代谱估计参数模型法概述基于AR模型的谱估计法最大熵谱估计算法最小方差谱估计基于矩阵特征分解的谱估计高阶谱估计,18,最小方差谱估计,基本原理MV谱与ME谱或AR谱的关系,19,最小方差谱估计,MVSE基本原理,三点说明最小方差功率谱估计(MVSE)，又称最大似然谱估计，但实际上它并不是最大似然谱估计；提出者Capon,1969也把这个方法叫做高分辨率谱估计方法，但实际上其分辨率并不高于AR模型法；尽管这样，但由于其思路独特，仍有了解的必要。下面，讨论该方法的导出过程。,20,最小方差谱估计,MVSE基本原理,算法推导将随机信号x(n)通过FIR滤波器A(z):,则其输出为,其中,y(n)的均方值，也就是y(n)的功率，由下式给出：,式中为r(0),r(1),r(p)构成的Toeplitz矩阵。若y(n)的均值为零，则也是y(n)的方差。,21,最小方差谱估计,MVSE基本原理,算法推导（续）求滤波器的系数，有两个原则：,在某一给定频率处,x(n)无失真通过,这等效于要求：,式中,在附近的频率分量被拒绝,即在附近使为最小。为同时满足这两个原则，必须满足下式：,这就是“最小方差”谱估计的来历。,22,最小方差谱估计,MVSE基本原理,算法推导（续）利用Lagrange乘子法求解(5)式,得最小方差滤波器系数为,相应的最小方差为,从而，估计的最小方差谱为,应该注意，并不是真正意义上的功率谱，因为对的积分并不等于信号的功率，但它描述了真正谱的相对强度。,23,最小方差谱估计,MV谱与AR谱的关系,对自相关矩阵的逆矩阵作Cholesky分解，有,其中分别是0阶p阶AR模型系数和激励功率(即方差)组成的矩阵，即,24,最小方差谱估计,MV谱与AR谱的关系（续）,将(8)代入(7)，得,于是，我们得到MV谱与AR谱之间的一个重要关系：,其中,25,内容,随机信号的特征经典谱估计与现代谱估计参数模型法概述基于AR模型的谱估计法最大熵谱估计算法最小方差谱估计基于矩阵特征分解的谱估计高阶谱估计,26,基于矩阵特征分解的谱估计,自相关矩阵的特征分解基于子空间的频率估计与信号估计,27,自相关矩阵的特征分解,基本原理,设信号x(n)由M个复正弦加白噪声组成,分别是第i个复正弦的功率和频率,则x(n)的自相关函数为,式中正弦信号的幅度为为白噪声的功率。,如果由(p+1)个rxx(n)组成自相关矩阵：,28,自相关矩阵的特征分解,基本原理（续）,且定义信号向量：,则由(1)-(3),有,式中第一、二项分别为信号阵和噪声阵,前者最大秩为M.设，对Rp进行特征分解得：,式中Vi是对应于特征值的特征向量,特征向量相互正交，即,29,自相关矩阵的特征分解,基本结论,从上面讨论可以看出：Rp的所有特征向量V1,Vp+1形成p+1维向量空间(信息空间),且V1,Vp+1相互正交。利用相关矩阵的特征值，可将信息空间分成两个子空间：由主特征向量V1,VM张成信号子空间(主分量)其特征值分别为由特征向量VM+1,Vp+1张成噪声子空间其特征值均为信号向量e1,eM和主特征向量V1,VM张成相同的子空间信号子空间。结论:可在信号子空间或噪声子空间进行谱估计和频率估计应用:借助噪声子空间噪声特性,从信号子空间估计有用信号下面考虑pM和pM两种情况下基于噪声子空间的估计问题,30,基于矩阵特征分解的谱估计,自相关矩阵的特征分解基于子空间的频率估计与信号估计,PHD方法MUSIC方法,31,理论基础若p=M,则(5)式中Rp仅有一个噪声向量VM+1,它所对应的特征值就是噪声方差，该特征值也是Rp的最小特征值（因为此时）。可以证明，这时有,定理1噪声向量VM与信号向量ei(i1,M)都正交,即,令,则根据定理1有,其中,Pisarenko谐波分解(PHD),32,Pisarenko谐波分解(PHD),PHD算法的步骤,1)求x(n)的自相关函数并构成自相关矩阵Rp,且设p=M2)对Rp进行特征分解,得特征值及特征向量将其排序并找出最小的特征值及相应的3)将代入(7)，形成M阶多项式并求该多项式的根，得到x(n)的M个频率4)由(1)有,5)再由(1)得：故可求得,33,MUSIC方法,理论基础若噪声子空间的向量不止一个，用类似的方法可以证明有,定理2信号向量ei与噪声子空间的向量Vk都正交，即,由于自相关矩阵Rp的特征向量构成一组正交基，因此有,注意:(11)对应于Mp的情况，在这种情况下，若再使用(8),则求出的V(z)将有p-M个多余零点。故不宜再使用(8)计算。,34,MUSIC方法,MUSIC算法,基本思路由于信号向量与噪声子空间的各个向量都正交,因此信号向量与噪声空间各向量的线性组合也正交,故有,且上式在处应为零。从而有,该峰值对应的就是正弦信号的频率，分辨率优于AR模型法。,35,空间谱估计问题,阵列信号处理问题,阵列：多个天线（传感器）的组合阵元每个天线（传感器）假