高中数学 二项式定理性质课件 新人教A选修2

二项式定理(2),复习提问,1.二项式定理的内容,右边多项式叫(a+b)n的二项展开式；,2.二项式系数:,3.二项展开式的通项Tk+1=,针对(a+b)n的标准形式而言,(b+a)n，(a-b)n的通项则分别为:,4.在定理中，令a=1，b=x，则,观察猜想,展开式的二项式系数有什么变化规律？二项式系数最大的是哪一项？,为了研究它的一般规律，我们先来观察n为特殊值时，二项展开式中二项式系数有什么特点？,当时，求展开式的二项式系数，及二项式系数的和。,把（a+b)n展开式的二项式系数取出来，当n依次取1，2，3，时，可列成下表：,(a+b)1,11,(a+b)2,121,(a+b)3,1331,(a+b)4,14641,(a+b)5,15101051,(a+b)6,1615201561,上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角),1,在我国,很早就有人研究过二项式系数表,南宋数学家杨辉在其所著的详解九章算法中就有出现.,当时，求展开式的二项式系数，及二项式系数的和。,通过观察，二项式系数有什么特点？,二项式系数求和：,(a+b)111(a+b)2121(a+b)31331(a+b)414641(a+b)515101051(a+b)61615201561,性质,联系函数,观察二项式系数表，寻求其规律：,不难发现,表中每行两端都是1，与这两个1等距离的系数相等；而且在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；同一行中系数先增后减。,(a+b)n展开式的二项式系数依次是:,(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,(3)增减性与最大值.,增减性的实质是比较的大小.,(2)递推性:除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.,(3)增减性与最大值.,增减性的实质是比较的大小.,所以相对于的增减情况由决定,可知，当时，,二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。,还可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象，研究二项式系数的性质,(a+b)n展开式的二项式系数是可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是0,1,2,n,对于确定的n,可以画出它的图像。例如：当n=6时，其图象是右图中的7个孤立点.,例题分析:,例1证明：（1）(a+b)n的展开式中,各二项式系数的和,启示：在二项式定理中a,b可以取任意实数，因此我们可以通过对a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法赋值法。,令a=b=1，则,1答案,2答案,继续思考1:（2）试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.,即证：,证明：在展开式中令a=1，b=1得,小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特定的值1，-1等来整体得到所求。,赋值法,例2,小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和可以先赋值，然后解方程组整体求解,思考：,1.当n10时常用杨辉三角处理二项式系数问题;2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的对称性、增减性和最大值;3.常用赋值法解决二项式系数问题.,课外思考:1.求证：,2.(1x)13的展开式中系数最小的项是()(A)第六项(B)第七项（C）第八项(D)第九项,C,类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.,思考3,2答案,思考2求证:,略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开后比较xn的系数得：再由得,思考:求证：,证明：,倒序相加法,思考3.在(3x-2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3)系数最大的