时间序列分析-第二章自回归模型

第二章自回归模型,本章目录,推移算子和常系数差分方程自回归模型及其平稳性序列的谱密度和Yule-Walker方程平稳序列的偏相关系数和Levinson递推公式序列举例,2.1推移算子和常系数差分方程,一.推移算子对任何时间序列和无穷级数只要级数在某种意义下收敛，就定义并称B是时间t的后向推移算子，简称推移算子。推移算子有称为时滞算子或延迟算子，推移算子的性质：（1）对和t无关的随机变量Y有BY=Y，（2）（3）,（4）对多项式（5)对多项式的乘积有(6)对时间序列，,多项式和随机变量U,V,W有,二.常系数齐次线性差分方程给定p个实数,我们称为p阶齐次常系数线性差分方程，简称齐次差分方程。满足上式方程的实数列称为它的解，满足上式的实值（或复值）时间序列也成为它的解。上式的解可以由p个初值逐次递推得到若初值是随机变量则递推得到的是时间序列。,用推移算子把差分方程写成称为差分方程的特征多项式。解有线性性质：和Yt是解，则也是解。差分方程的基础解：设多项式A(z)是k个互不相同的零点，其中zj是r(j)重零点。可以证明对每个zj有,证明:设A(z)有分解则有,齐次线性差分方程的通解定理1.1设A(z)是k个互不相同的零点其中zj是r(j)重零点。则是（1.2）的p个解，而且（1.2)的任何解都可以写成这p个解的线性组合（1.7）其中的随机变量可以由的初值唯一决定，（1.7）称为齐次线性差分方程（1.2）的通解。,差分方程（1.2）的实值解可以表示为可以由初始值唯一决定。通解的收敛性如果差分方程的特征多项式A(Z)的根都在单位圆外：取于是方程的任意解满足称Xt以负指数阶收敛到0.,通解不收敛的情形如果特征多项式有单位根，则方程有一个周期解如果单位圆内有根，则方程有一个爆炸解,非齐次线性差分方程及其通解,设Yt为实值时间序列（1.10）满足（1.10）的时间序列称为（1.10）的解。如果有（1.10）的某个解，则通解可以写成,2.2自回归模型及其平稳性,例子：单摆的120个观测值(a=-0.35),单摆的120个观测值(a=-0.85)：,单摆的10000个观测值(a=1)：,单摆的120个观测值(a=-1.25)：,模型定义2.1（模型）如果是白噪声WN(0，),实数使得多项式A(z)的零点都在单位圆外则称P阶差分方程是一个p阶自回归模型，简称为模型,满足模型(2.5)的平稳时间序列称为（2.5）的平稳解或序列称为模型的自回归系数。称条件（2.4）是稳定性条件或最小相位条件。A（z）称为模型（2.5）的特征多项式。的平稳解设多项式A(Z)的互异根是取从而有泰勒级数,令如果Xt是（2.6）的平稳解，则由此可见平稳解如果存在必然为称为平稳序列的Wold系数。,Wold系数的推导,AR(p)的平稳解及通解定理定理2.1（1）由（2.9）定义的时间序列是AR(p)模型（2.5）的唯一平稳解。（2）AR(p)的模型的通解有如下的形式,引理2设实系数多项式且满足最想相位条件则存在0使得,定理2.1的证明,通解与平稳解的关系,AR()的通解Yt与平稳解有如下关系可以用此事实作为模拟产生AR()序列的理论基础。,AR序列的模拟,取迭代得到取n0取50即可，但特征根接近单位圆是要取大的n0,AR(p)模拟(AR(4),2.3AR()序列的谱密度和Yule-Walker方程,AR()序列的谱密度由线性平稳列的谱密度公式得到平稳解的谱密度如果A(Z)有靠近单位圆的根则会接近于零，造成谱密度在处有一个峰值。,即为复指数衰减。Xt序列前后的相关减少很快，称为时间序列的短记忆性。,自协方差函数因为AR()的平稳解为由线性平稳性质知道Xt为零均值，自协方差函数为,谱密度的自协方差函数谱函数的定义是满足是非负可积函数。利用公式计算,定理3.1如果平稳序列Xt的自协方差函数k绝对可和：则Xt有谱函数（3.4）由于谱函数是实值函数，所以（3.4）还可以写成,推论3.2AR(）的平稳解序列Xt有谱密度Yule-Walker方程对np,把的递推时写成矩阵形式的,定义Xt的自协方差矩阵在上式中两边同时乘上Xt-1后取得数学期望，利用Xt与未来输入的不相关性有,对有于是可以写成AR(）序列的自协方差函数Yule-Walker方程定理3.3（Yule-Walker方程）AR(）序列的自协方差函数满足,自协方差函数的周期性对k0,定义推论3.4AR(）序列的自协方差函数满足和AR(）模型相应的差分方程证明：,例子：AR(4）模型1周期为2/(/3)=6和2/(2/3)=3AR(4）模型2AR(4）模型3,AR(4)模型1的谱密度,AR(4)模型1、2、3的谱密度,自协方差函数的正定性,AR(）平稳解唯一故自协方差函数自回归系数和白噪声唯一决定。反之，若正定，则根据Yule-Walker方程可以从解出AR(）模型的自回归系数和白噪声的方差其中许多自协方差矩阵是正定的，特别AR(）序列的自协方差矩阵总是正定的。,定理3.5设是平稳序列Xt的n阶自协方差矩阵，。（1）如果Xt的谱密度存在，则对正定；(2)如果，则对正定。证明：（1）对至多有n-1个零点。，于是,推论3.6线性平稳序列的自协方差矩阵总是正定的。定理3.7设离散谱序列Xt在第一章的定义，如果它的谱函数恰有n个跳跃点，则正定，退化。如果有无穷个跳跃点，则对任何正定。,时间序列的可完全预测性对于方差有限的随机变量，如果有不全为零的常数,使得则称随机变量是线性相关的，否则是线性无关的。线性相关时，存在常数b0使得成立。Yn可由线性表示称Yn可以由完全线性预测。,定义4.1设和分别是平稳序列的自协方差函数和n阶自协方矩阵，由（3.8）定义，方程组称为的n阶Yule-Walker方程，其中的称为的n阶Yule-Walker系数。下面的定理说明对于一般的平稳序列，p阶Yule-Walker系数是否满足最小相位条件。,2.4平稳序列的偏相关系数和Levinson递推公式,定理4.1如果实数使得正定，则有定义4.1定定义的Yule-Walker系数满足最小相位条件,最优线性预测设是随机变量。考虑估计问题称为Y关于的最优线性估计。是Y关于上的投影。,为了更快的计算Yule-Walker系数，通常采用下面的递推公式。定理4.2（Levinson递推公式）如果正定，对有,偏相关系数定义4.1如果正定，称为或的n接偏相关系数。设Xt是AR(）序列。其自协方差函数正定。由Yule-Walker方程知其n阶Y-W系数为其偏相关系数满足称为偏相关系数P步截尾。,反之，如果一个零均值平均列偏相关系数p步截尾，则它必是AR(）序列。偏相关截尾隐含要求自协方差列正定。下面一个定理告诉我们这个平稳序列一定是AR(）序列。,定理4.3零均值平稳序列Xt是AR(）序列的充分必要条件