理论力学虚位移原理

虚位移原理,虚位移原理建立独立于牛顿力学体系的质点系平衡条件。,牛顿力学体系矢量力学。描述的力学量都用矢量表示如：矢径，速度，加速度，角速度，角加速度，力，力偶等。,分析力学体系标量力学。描述的物理量为标量。如广义坐标，能量，功等。,虚位移原理以分析力学为基础，建立系统平衡的充要条件，比牛顿力学建立的平衡条件具有更广泛的意义。,本章仅仅阐述虚位移原理在求解静力平衡问题中的应用。事实上，虚位移原理建立的平衡准则还应用于动力学建立质点系统运动与受力的关系、固体力学中物体变形的分析等。,质点系的位形、约束方程及分类,质点系中全部质点空间位置的坐标描述，称为该质点系的位形。,质点系的位形可以由直角参考坐标系统确定，也可以由与质点系自由度对应的广义坐标确定。,虚位移原理用于建立约束系统的平衡条件,平面一般运动，3自由度，广义坐标：,定轴转动，单自由度，广义坐标：,对物体运动的限制称为约束。用数学方程表示，称为约束方程。,约束与约束方程,滑块滑道,质点被限制在某曲面上运动，约束方程为该曲面方程,约束方程,滑块B的约束方程,当v=f（x，t）不可积分函数时，约束方程,约束的分类,几何约束：只限制质点的几何位置的约束。,运动约束：约束方程包含质点坐标（对时间）的导数。,定常约束：约束条件与时间无关，即约束方程中不显含时间t。,非定常约束：约束条件与时间有关，即约束方程中显含时间t。,完整约束：包括几何约束和可化成几何约束的运动约束。,非完整约束：不可化成几何约束的运动约束。,理想约束：约束力做功恒等于零的约束。,自由度和广义坐标,自由度：描述在几何约束条件下质点系位形的独立参变量的个数。,对于n个自由质点组成的质点系，可用3n个直角坐标（xi，yi，zi）i=1，2，3n，描述每一个质点所在的位置称为质点系的位形。整个系统有3n个自由度。,对于n个质点组成的非自由质点系，设其有S个约束方程，表明描述质点系位形的3n个直角坐标不独立。这时，可以选取独立的k个参数表示质点系的位形，而,两个质点组成质点系,约束方程,自由度数,广义坐标，取,一般地，具有n个质点的系统中每一个质点用矢径表示为,表示每个质点的直角坐标,注意，一般情况下，广义坐标是时间t的函数。,约束方程,系统自由度,取广义坐标,质点的直角坐标:,实位移与虚位移,实位移：质点系发生的为约束允许的真实位移。,设一个具有k个自由度的，由n个质点组成的的质点系统，每一个质点由矢径ri表示其位置，而ri可以用广义坐标表示如下：,在t时刻，外力作用下，经历无限小时间间隔t质点系中每一个质点产生微小位移dri（i=1，2，n）。显然，表示系统位形的广义坐标也将产生一组微小增量dqj（j=1，2，k）。称为系统广义实位移。满足条件,（1）,（2）位移满足约束条件和初始条件,虚位移：在实位移概念的基础上，不考虑主动力的作用（产生位移的动力）和初始条件，仅仅满足约束条件的位移。,与实位移的物理意义比较，虚位移是一种假设的、可能产生的位移。两者的共同点是：在一定的条件下（定常、完整约束）实位移必是虚位移中的一组。,虚位移与时间无关，对应k个自由度的质点系统，质点位置矢径,虚位移表示如下：,显然，虚位移与时间无关。,确定系统中质点间虚位移的关系,如前所述，具有k个自由度的，由n个质点组成的质点系统，质点间的位置关系不是完全独立的，因此，每一个质点的虚位移并不完全独立。把每一个质点的虚位移用独立的广义坐标表示，分析中通常需要建立非独立的质点虚位移之间的关系，方法如下：,1、虚速度法：方法等同于“平面运动刚体上两点间的速度关系”。把“点的虚位移”视为“点的速度”，应用“基点法”、“速度投影定理”和“速度瞬心法”以及“复合运动速度关系”，确定两点间的虚位移关系。,2、解析法：在固定参考系中，将确定点的位置的直角坐标表示为选定的独立广义坐标的函数，对其求变分。,试确定D、B、E、C点虚位移与广义坐标的关系。设AD=DB=BE=EC=l,解：系统是单自由度，取为广义坐标。1、解析法,由于AB=BC,建立图示坐标系统,求变分,负号表示角增加时，虚位移方向与坐标方向相反。,各点虚位移关系，如D点虚位移与C点虚位移的关系,（2）虚速度法,速度投影定理,各点虚位移方向如图,AB=BC=AC=O1B=O2C=OA=a,求：此瞬时OE的虚位移与O1B虚位移之间的关系。,注意,各虚位移间关系,力和功,元功和有限功,元功,有限功,微分加“”表示逆过程在某些情况（如耗散系统）中不成立。,特殊力系做功的计算,1、汇交力系合力做功,合力主矢,合力在有限路径做功等于分力在有限路径上做功之和,2、内力做功,内力的特点：成对出现，大小相等，方向相反,设两个质点M1，M2相互作用力F12，F21,则有,元功,刚体内的两点,变形体内的两点,3、弹性力做功,l0弹簧原长k弹簧刚度系数,弹性恢复力,上式表明，弹性恢复力的方向总与变形方向相反。,弹性力大小,弹性恢复力做功,或,有限功,弹性恢复力,4、约束力做功,光滑平面约束，柔绳约束,由于约束力作用线与位移方向恒垂直，因此做功恒等于零。,光滑铰链约束,固定铰约束点处位移恒等于零，因此做功恒等于零；活动铰可移动方向约束力恒垂直，因此做功恒等于零。,中间铰处约束力做功恒等于零自行分析,凡是约束反力做功恒等于零的约束称为理想约束,有势力做功,有势力的大小和方向是位置的单值函数。如重力，弹性力，万有引力等都是有势力。,有势力做功仅与力作用的起止位置有关而与移动路径无关。,有势力的作用空间称为有势力场,重力：,弹性力：,有势力作用的质点位置的改变将引起有势力做功称为势能函数。,重力势能函数：,弹性势能函数：,有势力做功等于负势能函数。,当取弹簧原长为势能零点时,物理意义是：有势力做正功时系统势能减少；有势力做负功时系统势能增加。,平面运动刚体上力系做功,平面运动刚体上作用力系Fi(i=1,2,n),设Fi的作用点Di,其元功为,以刚体上一点A为基点,则有,于是,力系Fi(i=1,2,n)的元功,力系对A点的主矩,平面运动刚体上力系的元功,当选A点为速度瞬心p时,作用于平面运动刚体上力系的有限功为,特殊情况：,平动刚体,定轴转动刚体（设A为转动轴）,实功与虚功,实功（广义）力在（广义）实位移上做功。,当力系在自身引起的实位移上做功时，实功恒为正值。当力系在非自身引起的实位移上做功时，实功可为正值，也可为负值。,虚功（广义）力在（广义）虚位移上做功。,做虚功的力与位移可以毫不相关，所以虚功可以为正值，也可以为负值。,虚功表示,表示虚元功,虚功的计算与实元功相同。有限虚功没有意义，一般不考虑。,匀质圆盘重P，半径R，其轮心与一弹簧相连。弹簧刚度系数为k初始长度为l0。系统在常力偶M0作用下，在倾角为的斜面上保持平衡，求：系统虚元功。,圆盘受力分析如图，给圆盘一个微小的虚位移,与各力对应的虚功为,（1）,（2）,（3）,纯滚动圆盘摩擦力做功等于零,（5）,建立虚位移，l之间的关系,于是,虚位移原理（虚功原理）,具有定常、完整、理想约束的质点系，保持静止平衡的充分必要条件是：作用于质点系的主动力在平衡位置附近的虚位移上所做的虚功之和等于零。,与牛顿力学不同之处在于，虚位移原理给出质点系统（包括刚体系统）保持平衡的充分必要条件。,虚位移原理在求解静力学平衡问题中的应用,圆盘半径R，AB杆长l，杆与墙面光滑接触，圆盘做纯滚动。在杆处于水平位置时保持平衡。求：所加力偶M的大小。,虚功,虚位移之间的关系,代入虚功方程,系统虚元功,虚位移原理,得,于是,设：AE=AB=l，DB=CE=2l，初始位置角度为0，E点只能沿Y轴运动，弹簧刚度系数为k，当=0时，弹簧为原长。求：保持平衡状态时P、Q与的关系。,解：应用解析法,A点纵坐标：,B点横坐标：,C点横坐标：,求变分（给一个虚位移）,求虚功,弹性力虚功，设,方向如图,虚位移原理,已知:OA=AB=l,C为AB中点,弹簧OB的刚度系数为k。AB上作用主动力偶M和主动力F,方向垂直向上,作用点C，不计杆件自重。设系统在图示位置处于平衡状态,求弹簧变形量。,解:系统单自由度,其中AB作平面一般运动,p为速度瞬心,以AB杆转动角为广义坐标,写出M,F和Fe所做的虚功:,虚位移原理:,虚位移原理用于求解约束反力,试求图示结构A截面的约束反力。,解：,A截面约束反力如图。结构自由度为零，为求解约束反力，逐个解除对应约束反力的约束。,求解FAx解除对应约束后，给一个与FAx对应的虚位移,各点虚位移,系统虚功,解除对应FAy的约束，给一个与之对应的虚位移,对应各力虚功,注意各点虚位移之间的关系,虚功方程,解除与MA对应的约束，各点虚位移如图,虚功方程,即,虚位移间的关系,应用虚位移原理求解静力学平衡问题分析过程,1）确定系统自由度数，选定与之对应的广义坐标。,若求解约束力（这时系统自由度数为零），则放松与之对应的约束，代之以约束力并将其视为主动力。,3）给广义坐标一个虚位移qj，建立与（广义）主动力对应的（广义）虚位移rp和qj的关系。,4）求（广义）主动力在对应的（广义）虚位移rp上做的虚功。,5）建立系统虚功方程。,2）分析系统中每一个刚体（约束许可）的运动状态。,求图示结构C截面的约束反力,解：1）求C截面水平约束力,放松C截面水平方向约束，代之以约束力XC,AB杆不动，DK杆E点虚位移rE方向如图,C为DK杆速度瞬心，DK杆角位移DK,虚功方程,即,大小,求C截面垂直约束力YC,放松C截面垂直方向约束，代之以约束力YC,A点为CB杆速度瞬心，于是D点虚位移rD方向如图,另一方面，由基点法,？,？,于是,注意：,向轴投影：,解出：,注意：,得：,于是,虚功方程,有势力场中质点系的平衡条件和平衡的稳定性,有势力做功仅与力作用的起止位置有关而与移动路径无关。,当系统所受主动力为有势力，系统将具有势能V，并且有势力做功W与势能V有关系,V=-W,如：重力势能,弹性势能,符号的意义是：弹簧变形量12时弹性势能为正,势能增加;反之势能减小。,有势力与势能函数的关系,n个质点组成的质点系受有势力作用，则势能可以表示为质点位置的单值函数，即,第i个质点上作用的有势力Fi,则Fi在广义坐标qj的虚位