第2章布尔开关代数(2)第3章组合逻辑原理

.,上一次课内容复习：,二进制逻辑函数和符号开关代数的性质和定理功能完全操作集用布尔代数简化布尔方程,.,运算符：“()”，“*”，“”，或空S=xys=xys=x*ys=(x)(y)两个输入变量的真值表,（1）与（AND）,与运算的逻辑符号,复习一：二进制逻辑函数和符号,.,运算符：“+”s=x+y两个输入变量的真值表,（2）或（OR）,或运算的逻辑符号,S,.,运算符：“”，“”,（3）非（NOT）,非运算的逻辑符号,真值表,X,.,（4）与非NAND(notand),s=(xy);s=xy,.,（5）或非NOR（notor）,s=(x+y)；s=x+y,.,（6）异或EX-OR（exclusiveor）,s=xy；s=xy+xy,.,（7）异或非EX-NOR（exclusivenotor）,.,X,X,&,X,+,X,Z=XY,Z=X+Y,1,各种门IEEE逻辑符号,.,&,+,=1,=1,Z=XY,Z=XY,各种门IEEE逻辑符号,.,开关代数的性质（1）交换律：X+Y=Y+XXY=YX（2）结合律：(X+Y)+Z=X+(Y+Z)(XY)Z=X(YZ)（3）分配律：X(Y+Z)=XY+XZX+(YZ)=(X+Y)(X+Z)（4）0-1律：X+0=XX1=XX+1=1X0=0（5）互补律：XX=0X+X=1,复习二：开关代数的性质和定理,.,开关代数的其它性质和定理（1）二进制变量和常数0+0=01+0=10+1=11+1=100=010=001=011=1（2）等幂律：X+X=XXX=X（3）吸收律：X+XY=XX(X+Y)=XX+XY=X+YX(X+Y)=XY,（5）邻接律：XY+XY=X(X+Y)(X+Y)=X,.,德摩根定理：(X+Y)=XY互补律：如果满足AB=0和A+B=1，则A=B。,证明：(XY)+(X+Y)=(XY+X)+Y(结合)=(Y+X)+Y(吸收)=X+(Y+Y)(结合)=X+1=1(XY)(X+Y)=XYX+XYY=0+0=0,(X+Y)=XY(利用互补律的结论),.,功能完全操作集（完备运算集）：是一组逻辑函数集，它能实现所有的组合逻辑表达式。二进制逻辑函数的功能完全操作集有四类：（1）FC1与、或、非（2）FC2或非（3）FC3与非（4）FC4异或、与,复习三：功能完全操作集,.,原因：减少数字逻辑门电路的开销。方法：利用开关代数的性质和定理，进行化简。布尔方程（逻辑表达式）有2种形式：一种是And-Or表达式（积之和）形式；另一种是Or-And表达式（和之积）形式。,复习四：用布尔代数简化布尔方程,.,2.5开关函数的实现开关函数的三种表达方式：开关方程、真值表、逻辑图实现组合逻辑功能的5个步骤,问题描述构造真值表求出开关方程（逻辑表达式）用逻辑符号画出逻辑图绘制印制板电路,.,2.5.l开关方程到逻辑图的转换转换方法：用二进制通用逻辑符号替换开关方程的每一项，即可得到开关方程的逻辑图。,例2-12：T=ab+ab,.,对于多个输出的开关方程，在转换成逻辑图时，相同的项可以共享。例2-13：F1=xyz+xyzF2=xyz+xy,.,2.5.2逻辑图的转换为开关方程转换方法：与开关方程到逻辑图的转换方法相反，即根据逻辑图，从输入端开始，逐级写出各个门电路的输出表达式，最后就得到逻辑图对应的开关方程。例2-13：函数F1,xyz,xyz,=xyz+xyz,.,主要内容：组合逻辑的定义；真值表的确定；从真值表生成开关方程；卡诺图及其化简；映射变量卡诺图；混合逻辑组合电路；多输出函数。3.l组合逻辑的定义定义：如果逻辑电路中没有从输出到输入的反馈，且由功能完全的门电路构成，就称为组合逻辑电路。,第3章组合逻辑原理,Y=F(X),.,3.1.1真值表问题的提出,例3-1：,.,例3-2：,.,例3-4：,.,将实际问题描述转换成真值表的过程：,确定所包含的输入、输出变量；为每个变量分配变量名；确定真值表的大小：2xy；构造一个包含所有输入变量组合的真值表；确定使给定输出为真的输入组合。,.,例：设计一个组合逻辑的真值表，当3个输入中的多数为真时输出为真。,第一步：3个输入，1个输出第二步：I1、I2、I3，O1第三步：23=8,第四步：,第五步：,.,3.1.2导出开关方程1.术语与定义,乘积项：一个或几个布尔变量的逻辑乘积（与）。例：X、XY、XYZ。和项：一个或几个布尔变量的逻辑或。例：X、X+Y、X+Y+Z。积之和：几个乘积项的逻辑或。例：X+XY+XYZ。和之积：几个或项的逻辑与。例：(X+Y)(X+Y+Z)。,.,最小项：是组成一个布尔表达式的包含所有输入变量（每个变量出现一次）的乘积项，是特殊情况下的乘积（与）项。例：X、Y、Z的XYZ最大项：是组成一个布尔表达式的包含所有输入变量（每个变量出现一次）的和项，是特殊情况下的和（或）项。例：X、Y、Z的X+Y+Z,.,2.标准积之和一个标准积之和是当输出变量为逻辑1（真）时定义的最小项的完整系列。例3-1：,输出变量M的标准积之和为：M=abms+abms+abms,.,3.标准和之积一个标准和之积是当输出变量为逻辑0（假）时定义的最大项的完整系列。同例：在例3-1题中，,输出变量M的标准和之积为：M=(a+b+m+s)(a+b+m+s)(a+b+m+s)(a+b+m+s)(a+b+m+s)(a+b+m+s)(a+b+m+s)(a+b+m+s)(a+b+m+s)(a+b+m+s)(a+b+m+s)(a+b+m+s)(a+b+m+s),.,4.最小项和最大项的互补特性,miMi，即最小项（小写表示）和最大项（大写表示）互补。,.,3.2标准形式标准形式：任何布尔函数（开关方程）都可以用唯一的标准积（最小项）之和或者标准和（最大项）之积来表示。1.将SOP（SumofProducts）方程转换成标准形式,转换方法：（1）确定每个“与”项中缺少的变量；（2）若某个“与”项缺少变量x，则将该项和(x+x)相“与”，并用分配律展开；（3）去掉整个表达式中重复的最小项。,.,例：f1(a,b,c)=abc+bc+ac=abc+(a+a)bc+a(b+b)c=abc+abc+abc+abc+abc=abc+abc+abc+abc例3-5a：P=f(a,b,c)=ab+ac+bc=ab(c+c)+ac(b+b)+bc(a+a)=abc+abc+abc+abc+abc+abc=abc+abc+abc+abc+abc,.,2.将POS（ProductofSums）方程转换成标准形式转换方法：（1）确定每个“或”项中缺少的变量；（2）若某个“或”项缺少变量x，则将该项和(xx)相“或”，并用分配律展开；（3）去掉整个表达式中重复的最大项。,例：f1(a,b,c)=(a+b+c)(b+c)(a+c)=(a+b+c)(aa+b+c)(a+bb+c)=(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c),.,例3-5c：T=f(a,b,c)=(a+b)(b+c)=(a+b+cc)(b+c+aa)=(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c),.,3.3从真值表生成开关方程1.将真值表转换成标准形式的开关方程转换方法：将真值表中所有输出变量为逻辑1（真）时的最小项相“或”，就得到开关方程的标准积之和形式；将真值表中所有输出变量为逻辑0（假）时的最大项相“与”，就得到开关方程的标准和之积形式。,.,例：真值表如表所示。,标准积之和形式：f1(a,b,c)=m1+m2+m4+m6=abc+abc+abc+abc标准和之积形式：f1(a,b,c)=M0M3M5M7=(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c),.,2.用求和符号、求积符号习惯上可以采用求和符号来表示积之和，采用求积符号和之积。,对于前面的例子，得到如下关系：f1(a,b,c)=m(1,2,4,6)表示求积之和的形式，m(1,2,4,6)表示最小项有m1,m2,m4,和m6。f1(a,b,c)=M(0,3,5,7)表示求和之积的形式，M(0,3,5,7)表示最大项有M0,M3,M5,和M7。,.,3.两种标准形式的转换分析前面的例子，有：f1(a,b,c)=m(1,2,4,6)f1(a,b,c)=M(0,3,5,7)即：m(1,2,4,6)=M(0,3,5,7)而：全部项为(0,1,2,3,4,5,6,7)求和、求积具有互补特性。结论：开关方程的求和等于真值表中未包含在求和中的其它项的求积。,.,第一章习题：362），P36,二、补码求解：（1）确定位