福建福鼎高三数学《数学归纳法》课件

,6.3数学归纳法,问题情境一,多米诺骨牌课件演示,1、第一块骨牌倒下,2、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下,条件（2）事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K块倒下，则相邻的第K+1块也倒下,请同学们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件,解:,猜想数列的通项公式为,验证:同理得,正整数无数个!,（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？,（2）你的猜想一定是正确的吗？,问题情境二,多米诺骨牌游戏与我们前面所提到的要解决的问题有相似性吗？,多米诺骨牌游戏原理,（1）当n=1时，猜想成立,根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立。,通项公式为的证明方法,上述事例启发我们：在证明一个与正整数有关的数学命题时，我们常采用下面两个步骤来证明它们的正确性：,（1）证明：当n=1时命题成立;,数学归纳法,（2）假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.,这种证明方法叫做数学归纳法,由（1），（2）可得命题对所有正整数n都成立。,证明:,(1)当,猜想成立。,(2),那么,当,根据(1)和(2)，猜想对于任何都成立。,猜想数列的通项公式为,解：,例1、用数学归纳法证明：,证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。(2)假设当n=k时等式成立，就是那么，当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时，等式也成立。,因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何正整数n都成立。,例题讲解,证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立,（2）假设当时，等式成立，就是,那么当n=k+1时,这就是说，当n=k+1时，等式也成立,由（1）和（2），可知的等式对任何都成立,练习用数学归纳法证明:,那么，当n=k+1时,证明:(1)当n=1时,左边=20=1,右边=211=1,等式成立,（2）假设n=k时，等式成立，即,即当n=k+1时等式也成立,根据(1)和(2),可知等式对任何都成立.,错误原因：由证明n=k+1等式成立时没有用到n=k命题成立的归纳假设,例:欲用数学归纳法证明，试问n的第一个取值应是多少?,解：当n=1时，2n=2,n2=1,2nn2当n=2时，2n=4,n2=4,2n=n2当n=3时，2n=8,n2=9,2nn2当n=6时，2n=64,n2=36,2nn2对n=1、2、3，逐一尝试,可知初始值为n=5.当n5时，2nn2(证明略),一、数学归纳法适用范围:,课堂小结,二、用数学归纳法证明命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0（例如n0=1或2）结论正确；(2)假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。,数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。,递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉,三、两个注意：1、“二步骤一结论”缺一不可。2、第（2）步证明“假设n=k成立则n=k+1也成立”时一定要用到归纳