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,一、利用柱面坐标计算三重积分,二、利用球面坐标计算三重积分,95利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分,柱面坐标、,柱面坐标系的坐标面,直角坐标与柱面坐标的关系、,柱面坐标系中的体积元素,柱面坐标系中的三重积分,球面坐标、,球面坐标系的坐标面,直角坐标与球面坐标的关系、,球面坐标系中的体积元素,球面坐标系中的三重积分,1,一、利用柱面坐标计算三重积分,设M(x,y,z)为空间内一点，则点M与数r、q、z相对应，其中P(r,q)为点M在xOy面上的投影的极坐标,这里规定r、q、z的变化范围为：0r，0q2，z,r,z,P(r,q),M(x,y,z),x,y,三个数r、q、z叫做点M的柱面坐标,2,一、利用柱面坐标计算三重积分,坐标面rr0，qq0，zz0的意义：,r0,z0,设M(x,y,z)为空间内一点，则点M与数r、q、z相对应，其中P(r,q)为点M在xOy面上的投影的极坐标,这里规定r、q、z的变化范围为：0r，0q2，z,三个数r、q、z叫做点M的柱面坐标,3,直角坐标与柱面坐标的关系：,柱面坐标系中的体积元素：dvrdrdqdz,柱面坐标系中的三重积分：,4,解闭区域W可表示为：r2z4，0r2，0q2,于是,zx2y2,或zr2,例1,5,二、利用球面坐标计算三重积分,这样的三个数r、j、q叫做点M的球面坐标,设M(x，y，z)为空间内一点，则点M与数r、j、q相对应，,其中r为原点O与点M间的距离，,j为有向线段与z轴正向所夹的角，,q为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段的角,这里r、j、q的变化范围为0r，0j，0q2,z,P,M(x,y,z),x,y,6,坐标面rr0，jj0，qq0的意义：,r,7,点的直角坐标与球面坐标的关系：,球面坐标系中的体积元素：dvr2sinjdrdjdq,柱面坐标系中的三重积分：,8,例2求半径为a的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立体的体积,2a,9,例2求半径为a的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立体的体积,解该立体所占区域W可表示为：0r2acosj，0ja，0q2,于是所求立体的体积为,2a,10,例3求均匀半球体的重心,解取半球体的对称轴为z轴，原点取在球心上，又设球半径为a,显然，重心在z轴上，故xy0,11,解取球心为坐标原点，z轴与轴l重合，又设球的半径为a，,例4求均匀球体对于过球心的
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