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4函数的极值与最大(小)值,二、最大值与最小值,极大(小)值是局部的最大(小)值,它,一、极值判别,们将逐一研究函数的这些几何特征.,有着很明显的几何特征.在本节中,我,返回,2,一、函数的极值及其求法,3,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,4,说明：,1.极值不一定存在；,2.极值必在定义区间的内部取到；,3.极值是局部性的概念,极大值不一定比极小值大.,无极值.,设函数f在点x0的某邻域内有定义,且在点x0可,定理5.3(费马定理),导.如果x0是f的极值点，则必有,上述定理的几何意义：如果f在极值x=x0,处可导，则该点处的切线平行于x轴.,一、极值判别,费马定理的逆命题亦不真.例如,6,此外,不可导点也可能是极值点,但函数的不可导点也不一定是极值点，,7,这就是说,极值点要么是驻点,要么是不可导点,两者必居其一.,我们把驻点和孤立的不可导点统称为极值可疑点.,下面给出三个充分条件,用来判别这些极值可疑点是否为极值点.,定理6.10(极值的第一充分条件)设函数f(x)在,例1,解,稳定点为x=0，没有不可导点.,为了更好地加以判别，我们列表如下：,不存在,即,是极小值.,不存在,极小值,即,定理6.11(极值的第二充分条件)设f(x)在点x0,证同样我们仅证(i).因为,所以由保号性，,由极值判别的第一充分条件得知:x0是极小值点.,解,由定理6.11,x=6是极小值点,f(6)=108是极小值.,试问这里为什么不考虑不可导点x=0?,定理6.12(极值的第三充分条件)设f在点x0的,某邻域内存在直到,对于的情形,可借助于更高,阶的导数来判别.,(ii)n为奇数时,不是极值点.,证由泰勒公式,有,其中它在某邻域,内恒与同号.,这就说明,了不是极值点.,例3,所以由第二判别法,解,求得极小值为,因此x=1不是极值点(n=3是奇数).又因,由于,(n=4是偶数).,注第三充分条件并不是万能的.例如x=0是,22,极值是局部性的,而最值是全局性的.,二、最大值与最小值,23,具体求法：,上的最大、最小值.,解,所以,在x=0连续，由导数极限定理推知,故在x=0不可导.,所以,这样就得到不可导点为0,稳定点为1,2.又因,27,在许多实际问题中，往往用到求函数最值的下述方法：,例5一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为10(km/h)，燃料费为每小时6元，而其他与速度无关的费用为每小时96元.问轮船的速度为多少时，每航行1km所消耗的费用最小？,例6如图所示,
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