事件的相互独立性

2.2.2事件的相互独立性,什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？,两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是什么？,若A与为对立事件，则P(A)与P()关系如何？,不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件叫对立事件.,P(A+B)=P(A)+(B),P(A)+P()=1,复习回顾,如果事件彼此互斥，那么事件发生（即中恰有一个发生）的概率：,条件概率设事件A和事件B，且P(A)0,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。记作P(B|A).,条件概率计算公式:,注意条件：必须P(A)0,复习回顾,问题提出,思考1.甲盒子里有3个白球和2个黑球，乙盒子里有2个白球和2个黑球，记A“从甲盒子里摸出1个球，得到白球”;B：“从乙盒子里摸出1个球，得到白球”,试问事件A是否发生会影响事件B发生的概率大小吗?(即吗?),思考2.盒中有5个球(3白2黑),每次取出一个,有放回地取两次,记A:“第一次抽取取到白球”,B:“第二次抽取取到白球”.试问事件A是否发生会影响事件发生B的概率大小吗?(即吗?)如果是不放回呢?,问题提出,思考3.三张奖券中只有一张能中奖，现分别有三名同学有放回地抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”，事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？,显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A的发生不会影响事件B发生的概率。于是,P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B),相互独立事件的定义,设A,B两个事件,若,则称事件A与事件B相互独立.(mutuallyindependent),一般地，如果事件A1,A2,An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即,P（A1A2An）=P（A1）P（A2）P（An）,练习:判断下列事件是否为相互独立事件.,篮球比赛的“罚球两次”中，事件A：第一次罚球，球进了.事件B：第二次罚球，球进了.,袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球.事件A：第一次从中任取一个球是白球.事件B：第二次从中任取一个球是白球.,袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球.事件A：第一次从中任取一个球是白球.事件B：第二次从中任取一个球是白球.,条件概率的定义与相互独立的定义的比较:,在事件A与B相互独立的定义中，A与B的地位是对称的；,在条件概率P(BA)的定义中，事件A和B的地位是不对称的，这里要求P(A)0.,思考：能否用P(BA)=P(B)作为事件A与B相互独立的定义？,这个等式的适用范围是P(A)0，否则P(BA)没有意义.,相互独立的定义适用任意两个事件A,B，只要它们满足P(AB)=P(A)P(B).,事实上，若P(A)=0,由定义可知：A与任何一个事件都是相互独立的.因为此时对任意事件B，P(AB)=0，,所以P(AB)=P(A)P(B)总是成立的.,即概率等于0的事件与任何一个事件都是独立的.,思考1：不可能事件与任何事件A相互独立吗？,因为不可能事件的概率为0，所以不可能事件与任何一个事件A独立.,思考2：必然事件与任何事件A相互独立吗？,对于必然事件与任意事件A,因此总是成立的，,即必然事件与任何一个事件也是相互独立的.,必然事件及不可能事件与任何事件A相互独立.,两个事件相互独立与两个事件互斥的比较：,两个事件互斥：,此时有,但反过来不成立，即由,两个事件相互独立：P(AB)=P(A)P(B).,两个事件互斥有加法公式，即两个事件并的概率的和.,两个事件相互独立，表示两个事件交的概率等于两个事件概率的积.,思考:若事件A与B相互独立,则以下三对事件也相互独立吗？,例3某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05,求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码。,例题分析,例3某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05,求两次抽奖中以下事件的概率：,例题分析,解：记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB.且P(A)=P(B)=0.05,（1）都抽到某一指定号码；,(1)由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立.于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为,P(AB)=P(A)P(B)=0.050.05=0.0025,例3某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05,求两次抽奖中以下事件的概率：,例题分析,解：记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB.且P(A)=P(B)=0.05,(2)恰有一次抽到某一指定号码；,例3某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05,求两次抽奖中以下事件的概率：,例题分析,解：记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB.且P(A)=P(B)=0.05,(3)至少有一次抽到某一指定号码.,两次开奖至少中一次奖的概率是一次开奖中奖概率的两倍吗？为什么？,补例1.甲,乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5,求敌机被击中的概率.,依题设,由于甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以A与B独立,进而,=0.8,例题分析,补例2.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率.,例题分析,由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响。,所以这段事件内线路正常工作的概率是,答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973.,根据相互独立事件的概率乘法式这段时间内3个开关都不能闭合的概率是,解：分别记这段时间内开关能够闭合为事件A,B,C.,课堂练习,课本第55页练习第1、2、3、4题,1、分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设A是事件“第1枚为正面”，B是事件“第2枚为正面”，C是事件“2枚结果相同”.问：A，B，C中哪两个相互独立？,解：利用古典概型计算概率的公式，可以求得P(A)=0.5,P(B)=0.5,P(C)=0.5,P(AB)=0.25,P(BC)=0.25,P(AC)=0.25.,可以验证P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C),课堂练习,2.一个口袋内装有2个白球和2个黑球，（1）先摸出1个白球不放回，再摸出一个白球的概率是多少？（2）先摸出1个白球后放回，再摸出一个白球的概率是多少？,解（1）先摸出一个白球的条件下，口袋中剩下3个球，其中仅有1个白球，所以在先摸出1个白球不放回的条件下，再摸出1个白球的概率是13.,（2）先摸出一个白球后放回的条件下，口袋中仍然有4个球，其中有2个白球，所以在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是12.,3、天气预报，在元旦假期，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：（1）甲、乙两地都下雨的概率；,（2）甲、乙两地都不下雨的概率；,（3）其中至少有一方下雨的概率.,P=0.20.30.06,P=(1-0.2)(1-0.3)=0.56,P=1-0.56=0.44,课堂练习,(1)列表比较,不可能同时发生的两个事件,事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响,P(A+B)=P(A)+P(B),(2)解决概率问题的一个关键：分解复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件.,课堂小结,解题步骤：,1.用恰当的字母标记事件,如“XX”记为A,“YY”记为B.,2.理清题意,判断各事件之间的关系(等可能;互斥;互独;对立).关键词如“至多”“至少”“同时”“恰有”.求“至多”“至少”事件概率时,通常考虑它们的对立事件的概率.,3.寻找所求事件与已知事件之间的关系.“所求事件”分几类(考虑加法公式,转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式,转化为相互独立事件),4.根据公式解答,课堂小结,课后作业,课本第59页习题2.2B组第2题,附1：用数学符号语言表示下列关系：,若A、B、C为相互独立事件，则A、B、C同时发生；A、B、C都不发生；A、B、C中恰有一个发生；A、B、C中至少有一个发生的概率；A、B、C中至多有一个发生.,ABC,则“至少有一个发生”的概率为,P(A1An)=1-(1-p1)(1-pn),附2.若设n个独立事件,发生的概率分别为,类似可以得出：,=1-P1Pn,1.射击时,甲射10次可射中8次;乙射10次可射中7次.则甲,乙同时射中同一目标的概率为_,2.甲袋中有5球(3红,2白),乙袋中有3球(2红,1白).从每袋中任取1球,则至少取到1个白球的概率是_,3.甲,乙二人单独解一道题,若甲,乙能解对该题的概率分别是m,n.则此题被解对的概率是_,m+n-mn,4.有一谜语,甲,乙,丙猜对的概率分别是1/5,1/3,1/4.则三人中恰有一人猜对该谜语的概率是_,课后练习,7.在100件产品中有4件次品.从中抽2件,则2件都是次品概率为_从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是_(不放回抽取)从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是_(放回抽取),5.加工某产品须经两道工序,这两道工序的次品率分别为a,b.且这两道工序互相独立.产品的合格的概率是_.,(1-a)(1-b),6.某系统由A,B,C三个元件组成,每个元件正常工作概率为P.则系统正常工作的概率为_,A,B,C,P+P2-P3,练习2、若甲以10发8中，乙以10发7中的命中率打靶，两人各射击一次，则他们都中靶的概率是(),练习3.某产品的制作需三道工序，设这三道工序出现次品的概率分别是P1,P2,P3。假设三道工序互不影响，则制作出来的产品是正品的概率是。,D,(1P1)(1P2)(1P3),练习4.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是P1,，乙解决这个问题的概率是P2，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是多少？,P1(1P2)+(1P1)P2+P1P2,=P1+P2P1P2,练习5:已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？,略解:三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为,所以，合三个臭皮匠之力把握就大过诸葛亮.,一个元件能正常工作的概率r称为该元件的可靠性。由多个元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可靠性。今设所用元件的可靠性都为r(0r1)，且各元件能否正常工作是互相独立的。试求各系统的可靠性.,P1=r2,P2=1(1r)2,P3=1(1r2)2,P4=1(1r)22,例2甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击中目标的概率都是0.6，计算：,（1）两人都击中目标的概率；,解：(1)记“甲射击1次,击中目标”为事件A.“乙射击1次,击中目标”为事件B.,答：两人都击中目标的概率是0.36,且A与B相互独立，,又A与B各射击1次,都击中目标,就是事件A,B同时发生，,根据相互独立事件的概率的乘法公式,得到,P(AB)=P(A)P(B)=0.60.60.36,例2甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击中目标的概率都是0.6，计算：,(2)其中恰有1人击中目标的概率？,答：其中恰由1人击中目标的概率为0.48.,根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率是,例2甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击中目标的概率都是0.6，计算：,（3）至少有一人击中目标的概率.,解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是,解法2：两人都未击中的概率是,答：至少有一人击中的概率是0.84.,巩固练习,生产一种零件，甲车间的合格率是96%,乙车间的合格率是97,从它们生产的零件中各抽取1件，都抽到合格品的概率是多少？,解：设从甲车间生产的零件中抽取1件得到合格品为事件A，从乙车间抽取一件得到合格品为事件B。那么，2件都是合格品就是事件AB发生，又事件A与B相互独立，所以抽到合格品的概率为,答：抽到合格品的概率是,3.某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次.求:(1)两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率:(3)至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率.,分析:设事件A为“第1次射击中靶”.B为“第2次射击中靶”.又A与B是互斥事件.,“两次都中靶”是指“事件A发生且事件B发生”即ABP(AB）=P（A）P（B）=,例3甲、乙、丙三台机床各