高等数学Ⅱ1-1

高等数学,制作：许燕,课程简介,作用和地位：,主要教学内容:,初等函数、极限与连续、导数及其应用、不定积分、定积分(64学时).,1、通过学习，培养抽象思维能力、逻辑推理能力、运用数学知识分析问题和解决问题能力等多种实用能力.,2、是大学教育的重要基础理论课.,大学和中学的区别：,考核方式：作业、考勤10%，测验20%，大作业10%，期末60%,2、教学方法和管理：自由支配时间增多，需要有自觉性，要能够自主学习,3、学习内容：中学：深度，大学：广度，有侧重加深,1、人生规划：考研、就业、出国。确定方向,第一章函数,函数概念的起源与演变函数概念起源于对运动与变化的定量研究，作为一个明确的数学概念，它是17世纪的数学家们引入的。伽利略（GalileoGalilei,1564-1642）、费马（P.Fermat,1601-1665）、笛卡尔（R.Descartes,1596-1650）、牛顿（I.Newton,1643-1727）等先后使用了函数的概念。17世纪中，J.格雷果里（J.Gregory,1638-1675）在他的论文论圆和双曲线的求积中给出了较为明显的函数定义。“函数”（function）一词最早出现在莱布尼茨（G.W.Leibniz,1646-1716）的一篇手稿中，他引入了“常量”、“变量”,和“参变量”。在微分学的历史和起源一文中，他用“函数”一词表示依赖于一个变量的量。之后，约翰伯努利（JohannBernoulli,1667-1748）在1718年给出了他的函数定义：“一个变量的函数是指由这个变量和常数以任何一种方式构成的一个量”。1734年，欧拉（L.Euler,1707-1783）引入了现在流行的函数记号f(x)，并给出了他的函数定义：“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析表达式”。1755年，欧拉在微分学原理一书中给出了更为广泛的函数概念：“如果某些量以如下方式依赖于另一些量，即当后者变化时，前者本身也变化，则称前一些量是后一些量的函数。”,18世纪末，数学家们对函数概念的理解出现了明显的分歧。一方面，许多大数学家如拉格朗日（J.L.Lagrange,1736-1813）所接受的函数概念仍是解析函数。另一方面，一些数学家却对函数定义作出了关键性的改变。如法国数学家拉克鲁瓦（S.F.Lacroix,1765-1843）在1797年给出了函数的如下定义：“每一个量，若其值依赖于一个或几个别的量，就称它为后者（这个或这些量）的函数，不管人们知不知道用何种必要的运算可以从后者得到前者。”这是对函数概念的第一个实质性推进。19世纪，在数学分析的严格化过程中，出现了傅里叶（J.B.J.Fourier,1768-1830）级数和狄利克雷（Dirichlet,1805-1859）函数。1837年，狄,利克雷在不使用集合论概念的情况下，完整地给出了今天流行的函数概念，这是对函数概念的第二次实质性推进，它是由傅里叶开始，由狄利克雷加以深化得到的。19世纪末，随着集合论影响的逐渐扩大，一些数学家使用集合论的语言给出了函数概念的更为抽象的表述，加之20世纪以来实变函数论、复变函数论以及更一般的抽象分析的发展，函数概念也获得了更一般的意义和更抽象的形式。,一、集合二、区间与邻域,1.1集合,一、集合,1.定义及表示法,定义1.,具有某种特定性质的事物的总体称为集合.,注:M为数集,表示M中排除0的集;,表示M中排除0与负数的集.,表示法：,(1)列举法：,按某种方式列出集合中的全体元素.,例:,自然数集,(2)描述法：,x所具有的特征,例:整数集合,或,实数集合,x为有理数或无理数,下面具体研究实数集,整数集,无理数这种无限不循环小数称为无理数.,有理数集,2.实数集,有理数与无理数统称为实数，实数集记为R.,实数的全体充满了整个数轴，而且是连续的.实数与数轴上的点形成了一一对应的关系.实数系统可表示为：,3.集合之间的关系及运算,集合之间的关系（略）,集合之间的运算：,并集、交集、差集、余集,直积,特例:,为平面上的全体点集,二、区间与邻域,区间包括四种有限区间和五种无限区间，它们的名称、记号和定义如下(其中a，b为确定的实数，分别为区间的左端点和右端点):,表示分别以为左、右端点的开区间，区间长度为.,邻域：称实数集为点a的邻域，记作a称为邻域的中心，称为邻域的半径.由邻域的定义知,在中去掉中心点a得到的实数集,称为点a的去心