高等数学第十二章 微分方程

1,微分方程,第十二章,积分问题,微分方程问题,推广,2,微分方程的基本概念,第一节,3,引例1.,一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的,解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:,(C为任意常数),由得C=1,因此所求曲线方程为,由得,切线斜率为2x,求该曲线的方程.,一、问题的提出,4,引例2在推广某项技术时，若该项技术需要推广的总人数为N，t时刻已掌握技术的人数为P（t），则新技术推广的速度与已推广人数和尚待推广人数成正比，即有方程,5,微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,二、微分方程的定义,6,微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之.,分类1:常微分方程,偏微分方程.,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,分类2:,微分方程的分类,7,分类3:线性与非线性微分方程.,分类4:单个微分方程与微分方程组.,未知函数以及各阶导数都是一次的,线性微分方程,8,微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.,微分方程的解的分类：,三、主要问题-求方程的解,(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,9,(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,解的图象:微分方程的积分曲线.,通解的图象:积分曲线族.,初始条件:用来确定任意常数的条件.,10,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.,11,解,12,所求特解为,13,微分方程;,微分方程的阶;,微分方程的解;,通解;,初始条件;,特解;,初值问题;,积分曲线;,四、小结,14,转化,可分离变量微分方程,第二节,可分离变量方程,可分离变量方程,15,可分离变量方程的解法:,两边积分,得,16,设y(x)是方程的解,两边积分,得,则有恒等式,当G(y)与F(x)可微且G(y)g(y)0时,说明由确定的隐函数y(x)是的解.,则有,称为方程的隐式通解,或通积分.,同样,当F(x),=f(x)0时,上述过程可逆,由确定的隐函数x(y)也是的解.,17,例1.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C为任意常数),或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式含分离变量时丢失的解y=0),18,分离变量,两边积分,得到,即为所求的通解。,19,分离变量,两边积分,得到,即为所求的通解。,20,通解为,解,21,解：,例5：求解逻辑斯谛方程的通解，以及,分离变量有,积分得,整理得,代入初始条件得C=1/3，所求解为,22,例6.解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得C=1,(C为任意常数),故所求特解为,23,例7.求下述微分方程的通解:,解:令,则,故有,即,解得,(C为任意常数),所求通解:,24,练习:,解分离变量,即,(C0),25,求满足的特解,26,内容小结,1.微分方程的概念,微分方程;,定解条件;,2.可分离变量方程的求解方法:,说明:通解不一定是方程的全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一个解.,例如,方程,分离变量后积分;,根据定解条件定常数.,解;,阶;,通解;,特解,y=x及y=C,27,思考与练习,求下列方程的通解:,提示:,(1)分离变量,(2)方程变形为,28,作业,P2691(1),(3),(7),(10);2(3),(4);6,29,齐次方程,第三节,30,一、齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程.,为同次齐次函数,(同次齐次函数:,若函数满足,则称此函数为K次齐次函数)如:,31,32,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,33,例1.解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(当C=0时,y=0也是方程的解),(C为任意常数),34,例2.解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在,(C为任意常数