高等数学逆矩阵VIP

在数的运算中,当数a0时,有aa-1=a-1a=1.,在矩阵的运算中,单位阵E相当于数的乘法运算中的1,那么,对于矩阵A,如果存在一个矩阵A-1,使得,AA-1=A-1A=E,则矩阵A称为可逆矩阵,称A-1为A逆阵.,一、逆矩阵的概念和性质,2.3逆矩阵,定义:对于n阶方阵A,如果存在一个n阶方阵B,使得AB=BA=E则称矩阵A是可逆的,并称矩阵B为A的逆矩阵.A的逆矩阵记作A-1.,例如:设,由于AB=BA=E,所以,B为A的逆矩阵.,说明:若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的.,事实上:若设B和C是A的逆矩阵,则有,所以,A的逆矩阵是唯一的,即,AB=BA=E,AC=CA=E,可得:,B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C.,B=C=A-1.,解:利用待定系数法.,即,又因为,则,解得,所以,即,AB=BA=E,如上求逆矩阵的方法对于方阵的阶较高时显然是不可行的,必须寻求可行而有效的方法.,则,证明:若A可逆,则有A-1,使得AA-1=E.,定理1:矩阵A可逆的充要条件是|A|0,且,其中A*为矩阵A的伴随矩阵.,故,|A|A-1|=|E|=1,所以,|A|0.,由伴随矩阵的性质:AA*=A*A=|A|E,知,当|A|0时,按逆矩阵的定义得,当|A|=0时,称A为奇异矩阵,否则称A为非奇异矩阵.,由此可得,A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异矩阵.,证明:由AB=E得,|A|B|=|E|=1,推论:若AB=E(或BA=E),则B=A-1.,故|A|0.,因而,A-1存在,于是,B=EB=(A-1A)B=A-1(AB)=A-1E=A-1.,故结论成立.,逆矩阵的运算性质,(1)若矩阵A可逆,则A-1亦可逆,且(A-1)-1=A.,当|A|0时,定义,A0=E,A-k=(A-1)k(k为正整数).,且此时对任意整数,有,AA=A+,(A)=A.,(2)若矩阵A可逆,且0,则A亦可逆,且,证明:,(4)若矩阵A可逆,则AT亦可逆,且(AT)-1=(A-1)T.,AT(A-1)T=(A-1A)T=ET=E,所以,(AT)-1=(A-1)T.,(3)若A,B为同阶可逆方阵,则AB亦可逆,且(AB)-1=B-1A-1.,证明:,(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E,所以,(AB)-1=B-1A-1.,(5)若矩阵A可逆,则有|A-1|=|A|-1.,证明:,因为AA-1=E,所以,|A|A-1|=|E|=1,因此,|A-1|=|A|-1.,解:因为,二、关于逆矩阵的计算,所以A-1存在.,同理可得,所以,故,解:,例3:下列矩阵A,B是否可逆?若可逆,求其逆矩阵.,所以,A可逆.,由于,同理可得,所以,由于,故B不可逆.,解:用伴随矩阵的方法求A逆阵.,|A|=adbc0.,A11=d,A21=b,A12=c,A22=a.,设,则A可逆且,则,求二阶矩阵A的逆可用“两调一除”的方法,其做法如下:,例5:设,求矩阵X使其满足AXB=C.,解:由于,所以,A-1,B-1都存在.且,先将矩阵A中的主对角元素调换其位置,再将次对角元素调换其符号,最后用A的行列式|A|除矩阵A的每一个元素,即可得A的逆矩阵A-1.,又由AXB=C,得A-1AXBB-1=A-1CB-1,则X=A-1CB-1.,于是,X=A-1CB-1,例6:解矩阵方程,解:给方程两端左乘矩阵,得,例7:设方阵A满足矩阵方程A2A2E=O,证明:A,A+2E都可逆,并求它们的逆矩阵.,证明:由A2A2E=O,得A(AE)=2E,则,故A可逆,且A-1=,所以,又由A2A2E=O,得(A+2E)(A3E)+4E=O,则,故(A+2E)可逆,且(A+2E)-1=,例8:设三阶方阵A,B满足关系式:A-1BA=6A+BA,且,求B.,解:由于|A|=1/560,由A-1BA=6A+BA,得A-1BABA=6A,所以A可逆,且A-1=,则(A-1E)BA=6A,由于(A-1E)=,所以(A-1E)可逆,且,(A-1E)-1=,由A和(A-1E)可逆可得:,B=6(A-1E)-1,对角型非奇异方阵的逆矩阵有如下结果:,若,则,其中,12n0.,解:由于|P|=2,则An=PnP-1,A=PP-1,A2=PP-1PP-1=PP-1=P2P-1,Am=PmP-1,而,设(x)=a0+a1x+amxm为一m次多项式,A为阶方阵,记(A)=a0E+a1A+amAm,则(A)称为方阵A的m次多项式.,由于Ak,Al和E之间都是可交换的,所以方阵A的两个多项式(A)和(A)做矩阵乘法是可交换的,即总有(A)(A)=(A)(A),从而方阵A的多项式可以类似一般多项式一样相乘或分解因式.,例如,(E+A)(2EA)=2E+AA2,(2EA)3=E3A+3A2A3.,定义:设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使P-1AP=B,则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.对A进行运算P-1AP,称为对A进行相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.,由于矩阵A与B相似,则存在可逆矩阵P,使P-1AP=B,亦即A=PBP-1,所以,相似矩阵有,Am=(PBP-1)m=PBP-1PBP-1PBP-1,=PBmP-1.,进一步有,若(A)=a0E+a1A+amAm,则,(A)=a0PP-1+a1PBP-1+amPBmP-1=P(a0E+a1B+amBm)P-1,=P(B)P-1.,即相似矩阵的多项式,有相同相似变换矩阵.,Am=PmP-1;(A)=P()P-1.,特别当矩阵A与对角阵=diag(1,2,n)相似时,则,m=diag(1m,2m,nm),又显然有,则,()=a0E+a1+amm,四、小结,逆矩阵的概念及运算性质;逆矩阵A-1存在当且仅当|A|0.,逆矩阵的计算方法:(1)待定系数法;,(3)初