运筹学-3.单纯形矩阵描述与改进单纯形法

1,第1节单纯形法的矩阵描述,设线性规划问题可以用如下矩阵形式表示：目标函数maxz=CX约束条件AXb非负条件X0,2,将该线性规划问题的约束条件加入松弛变量后，得到标准型：,maxz=CX+0XsAX+IXs=bX，Xs0其中I是mm单位矩阵。,3,若以Xs为基变量，并标记成XB，可将系数矩阵（A，I）分为（B，N）两块。B是基变量的系数矩阵，N是非基变量的系数矩阵。并同时将决策变量也分为两部分：相应地可将目标函数系数C分为两部分：CB和CN，分别对应于基变量XB和非基变量XN，并且记作C=（CB,CN）,4,线性规划问题可表示为：,将（2-2）式移项及整理后得到：,5,令非基变量=0，由上式得到：,6,（1）非基变量的系数表示为：,7,（2）单纯形表与矩阵表示的关系,8,单纯形表中的数据,9,单纯形表中的数据,10,（3）规则表示为：RHS值表示选用0的分量换入变量的系数向量,11,小结,1）掌握矩阵的运算；2）理解基矩阵的作用；3）了解矩阵运算与单纯表的关系。,12,求解线性规划问题的关键是计算B-1，以下介绍一种比较简便的计算B-1的方法。,设mn系数矩阵为A，求其逆矩阵时，可先从第1列开始。,13,以a11为主元素,进行变换,14,然后构造含有（1）列，而其他列都是单位列的矩阵,15,可得到,16,而后以第2列的为主元素，进行变换,17,然后构造含有（2）列，而其他列都是单位列的矩阵,可得到,18,重复以上的步骤，直到获得,可见EnE2E1=A-1。用这方法可以求得单纯形法的基矩阵B的逆矩阵B-1,19,第2节改进单纯形法,以例1为例进行计算。,20,第2节改进单纯形法,第1步：确定初始基，初始基变量;确定换入、换出变量（1）确定初始基和初始基变量：（2）计算非基变量的检验数，确定换入变量。,21,第2节改进单纯形法,(3)确定换出变量,表示选择0的元素,22,第2节改进单纯形法,（4）基变换计算将新的基单位矩阵。计算：,23,（5）计算非基变量的系数矩阵（6）计算RHS,24,第2节改进单纯形法,第1步计算结束后的结果,25,第2节改进单纯形法,第2步：计算非基变量的检验数，确定换入变量,26,第2节改进单纯形法,确定换出变量,27,由此得到新的基,28,计算RHS,29,第2步计算结束后的结果,30,第3步：计算非基变量（x3,x5）的检验数,31,确定换出变量,32,新的基,基变换：,33,计算B的逆矩阵,34,计算非基变量的检验数,35,得到最优解：,目标函数的最优值为：,36,改进单纯形法步骤,1.求线性规划的标准形式，确定,3.重复第2步（下标加1），直至求出最优解。,37,第6节对偶单纯形法,在单纯形表中进行迭代时，在b列中得到的是原问题的基可行解，而在检验数行得到的是对偶问题的基解。通过逐步迭代，当在检验数行得到对偶问题的解也是基可行解时，已得到最优解。即原问题与对偶问题都是最优解。根据对偶问题的对称性，可以这样考虑：若保持对偶问题的解是基可行解，即cjCBB-1Pj0，而原问题在非可行解的基础上，通过逐步迭代达到基可行解，这样也得到最优解。,38,从该表看到，检验数行对应的对偶问题的解是可行解。因b列数字为负，故需进行迭代运算。,39,对偶单纯形法的计算步骤：,(1)把线性规划转化为“近似标准形式”，列出初始单纯形表。检查b列的数字，若都为非负，检验数都为非正，则已得到最优解。停止计算。若检查b列的数字时，至少还有一个负分量，检验数保持非正，那么进行以下计算。(2)确定换出变量。按min(B-1b)i(B-1b)i0(B-1b)l对应的基变量xi为换出变量(3)确定换入变量。在单纯形表中检查xl所在行的各系数lj(j=1,2,，n)。若所有lj0，则无可行解，停止计算。若存在lj0(j=1,2,，n),计算,40,按规则所对应的列的非基变量xk为换入变量，这样才能保持得到的对偶问题解仍为可行解。(4)以lk为主元素，按原单纯形法在表中进行迭代运算，得到新的计算表。重复步骤(1)(4)。,41,例6用对偶单纯形法求解,minw=2x1+3x2+4x3x1+2x2+x332x1x2+3x34x1，x2，x30解：先将此问题化成下列形式，以便得到对偶问题的初始基可行解maxz=2x13x24x3x12x2x3+x4=32x1+x23x3+x5=4xj0，j=1,2,5,42,例6的初始单纯形表，见表2-6。,从表2-6看到，检验数行对应的对偶问题的解是可行解。因b列数字为负，故需进行迭代运算。,43,换出变量的确定：换入变量的确定：按上述对偶单纯形法计算步骤(3)，即在单纯形表中检查xl所在行的各系数lj(j=1,2,，n)。若所有lj0，则无可行解，停止计算。,按上述对偶单纯形法计算步骤(2)，即按min(B-1b)i(B-1b)i0(B-1b)l对应的基变量xi为换出变量。计算min(3,4)=4故x5为换出变量。,故x1为换入变量。换入、换出变量的所在列、行的交叉处“2”为主元素。按单纯形法计算步骤进行迭代，得表2-7。,44,45,表2-8中，b列数字全为非负，检验数全为非正，故问题的最优解为X*=(11/5，2/5，0，0，0)T若对应两个约束条件的对偶变量分别为y1和y2，则对偶问题的最优解为Y*=(y1*,y2*)=(8/5,1/5),46,对偶单纯形法有以下优点：(1)初始解可以是非可行解，当检验数都为负数时就可以进行基的变换，这时不需要加入人工变量，因此可以简化计算。(2)当变量多于约束条件，对这样的线性规划问题用对偶单纯形法计算可以减少计算工作量，因此对变量较少，而约束条件很多的线性规划问题，可先将它变换成对偶问题，然后用对偶单纯形法求解。(3)在灵敏度分析及求解整数规划的割平面法中，有时需要用对偶单纯形法，这样可使问题的处理简化。对偶单纯形法的主要局限性：对大多数线性规划问题，很难找到一个初始基。,3.对偶理论slide58：例题,作业3：1.课本P74.2.3(2)、(3),2、写出下列线性规划问题的对偶问题。,3、试用对偶单纯形法求解下列线性规划问题。,作业4：,4.课本P76.2.9(1)-(5),49,第8节*参数线性规划,灵敏度分析主要讨论在最优基不变情况下，确定系数aij，bi，cj的变化范围。参数线性规划研究这些参数中某一参数连续变化时，使最优解发生变化的各临界点的值。即把某一参数作为参变量，而目标函数在某区间内是这个参变量的线性函数，含这个参变量的约束条件是线性等式或不等式。因此仍可用单纯形法和对偶单纯形法分析参数线性规划问题。其步骤是：,50,第8节*参数线性规划,(1)对含有某参变量t的参数线性规划问题。先令t=0，用单纯形法求出最优解；(2)用灵敏度分析法，将参变量t直接反映到最终表中；(3)当参变量t连续变大或变小时，观察b列和检验数行各数字的变化。若在b列首先出现某负值时，则以它对应的变量为换出变量；于是用对偶单纯形法迭代一步。若在检验数行首先出现某正值时，则将它对应的变量为换入变量；用单纯形法迭代一步；(4)在经迭代一步后得到的新表上，令参变量t继续变大或变小，重复步骤(3)，直到b列不能再出现负值，检验数行不能再出现正值为止。,51,参数c的变化,例12试分析以下参数线性规划问题。当参数t0时的最优解变化。解：将此模型化为标准型,52,令t=0，用单纯形法求解的结果，见表2-20。,将c的变化直接反映到最终表2-20中，得表2-21。,计算t的变化范围,53,当t值变化，在40，即0t9/7时，为最优解(2,6,2,0,0)T；当t值增大，t(3/2)/(7/6)=9/7时，在检验数行首先出现40；表示还可以继续改进。t=9/7为第一临界点。当t9/7时，40，这时x4作为换入变量。用单纯形法迭代一步，得表2-22。,54,当t继续增大t(5/2)/(1/2)=5时，在检验数行首先出现50，在50，即9/7t5时，得最优解(4,3,0,6,0)T。t=5为第二临界点。当t5时，50，这时x5作为换入变量，用单纯形法迭代一步，得表2-23。,t继续增大时，在检验数行恒有2，30，故当t5时，最优解为(4，0，0，12，6)T。,55,参数b的变化分析,例13分析以下线性规划问题，当t0时，其最优解的变化范围。解将上述模型化为标准型,56,令t=0，用单纯形法迭代两次，求解的结果，见表2-24。,将此计算结果反映到最终表2-24，得表2-25。,57,参数b的变化分析,在表2-25中进行分析，当t增大至t2时，则b0；即0t2时，最优解为(2