理论力学之虚位移原理

1,研究该平衡问题,构造“功”：,平衡条件：,（a）,图示杠杆平衡，求F1与F2关系,假定系统运动了微小角度,能否研究诸力做功，而得到平衡条件？,动力学分析方法,则：,2,F1与F2在相应位移上的功之和：,条件（a）和条件（b）是等价的,（b）,平衡条件,虚位移原理,（a）,（b）,猜想：,力在微小位移中所作的功的关系来建立,虚位移,虚功,3,什么是虚位移,由伯努利（Bornoulli，1717)提出由拉格朗日（Lagrange，1764)完善,虚位移原理是静力学的普遍原理，它给出了质点系平衡的充分和必要条件。,用动力学方法建立受约束质点系平衡条件,虚位移原理,4,虚位移的概念与分析方法,一、实位移、可能位移和虚位移,真实位移：满足运动微分方程和约束方程的位移解，是真实发生的位移，称为实位移。,例：固定斜面上的物体只受重力作用，求：真实位移(速度)方向。,可能位移：满足约束方程但不一定满足运动微分方程的微小位移。,例：斜面上的物体只受重力作用，求：可能位移方向。,真实位移(速度)只有一组,可能位移(速度)有多组,5,虚位移：满足约束方程且不考虑约束随时间变化的可能微小位移。,1、若约束定常，无穷小可能位移就是虚位移，无穷小真实位移(速度)也是虚位移之一。,例：斜面固定，物体只受重力作用，则：可能位移、实位移均是虚位移。,2、若约束非定常,例：斜面以速度v运动，物体只受重力作用，则真实位移、可能位移、虚位移是什么？,这时，可能位移是物体相对斜面的位移与斜面位移的叠加，一般不会在斜面内。,虚位移是假想约束在该时刻“凝固”不动时的“可能位移”。,虚位移也不唯一,虚位移在斜面内,6,虚位移特点,（2）虚位移是假定约束不变而设定的可能微小位移；,（1）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许；,（3）在完整、定常约束下，虚位移方向沿其可能速度方向。,（4）虚位移可能有多组,虚位移：几何概念，仅依赖于约束条件,7,1.几何法：,用“虚速度”的方法分析虚位移。,如何分析机构某点的虚位移？,二、虚位移的分析方法,适用于“速度”易于分析的情况,在同一时刻（位置），各点之间的虚位移的关系等同于各点之间的虚速度的关系。,例：求A、B点的虚位移，并求虚位移的关系。,8,2.解析法,解：选1、2为系统的广义坐标，直角坐标原点选在固定点O，则A、B坐标可表示为：,则A、B两点虚位移在x、y方向的投影：,适用于完整、定常、双面约束,例：求A和B两点的虚位移,注意：原点必须选在固定点；体系必须处于一般的位置,9,问题：体系独立的虚位移数目是多少？,(i=1,2,n),若体系自由度为k，则选k个广义坐标qi，任一质点的定位矢量ri可表示成k个广义坐标的函数：,写成投影：,用类似求微分的方法求虚位移的投影：,10,一、虚功,虚功（virtualwork)：作用于质点或质点系上的力在虚位移上所作的功。,理想约束,理想约束(idealconstraint)：约束力在任何虚位移上所作虚功之和为零的约束。,虚位移原理(虚功原理),11,二、虚位移原理(virtualworkprinciple),问题：具有理想约束的质点系，在给定位置保持平衡，则所有主动力在系统的任何虚位移上所作的虚功之和是多少？,平衡：,|0,平衡时主动力的虚功之和为零,12,平衡,假设等式成立但质点系不平衡,也为虚位移,结果与假设的条件相矛盾。所以，质点系不可能进入运动，而必定成平衡。,？,质点开始运动,运动质点Mi有合力,产生同方向的微小实位移,完整、双面、定常约束,主动力的虚功之和为零则系统平衡,13,虚位移原理：具有双面、理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的充要条件是：该质点系所有主动力在系统的任何虚位移上所作的虚功之和等于零。,为主动力，为主动力作用处的虚位移，二者是点乘关系,虚位移原理研究一定条件下的平衡力系主动力之间的关系,14,分析主动力作用点的虚位移求主动力的虚功之和,15,解：,16,例:图示椭圆规机构,连杆A、B长为l,，杆重和摩擦力不计，求:在图示位置平衡时主动力FA和FB之间的关系。,1.几何法,2.解析法,解：,17,例题：若已知：求:平衡时的位置,18,解：根据虚位移原理,19,广义力,广义坐标,20,1、明确自由度，选广义坐标,2、分析虚位移，表示成广义坐标虚位移的关系,分析思路：,3、由虚位移原理列方程,4、由广义力等于零得到平衡条件,虚位移原理：,21,例题:已知各长为L，重为W，求维持平衡所需力F的大小?,广义力,解：取为广义坐标,由虚位移原理：,广义坐标,22,例：机构如图所示，不计构件自重.已知AB=BC=l,BD=BE=b，弹簧刚度为k，当AC=a时，弹簧无变形。设在滑块上作用一水平力F，求该机构处于平衡时，A和C间的距离（x=？）,内力虚功：,外力虚功：,解：体系自由度：,选广义坐标：,23,24,虚位移：满足约束方程且认为约束不变的可能位移。,若约束双面、完整、定常，则可能位移(包括实位移)就是虚位移。,虚位移原理,1、定义,2、分析方法,几何法(虚速度法)：虚位移方向即为真实速度方向。,条件：约束双面、完整、定常,解析法：建立坐标系，用广义坐标表达各点位移，用类似求微分的方法求虚位移的投影。,25,给出了做功的力之间关系,虚位移原理,为任何做功的力,第二类问题：求平衡位置,第一类问题：求主动力之间关系,可解决的问题：,机构,26,任意点的虚位移与广义坐标虚位移的关系：,称为对应于广义坐标的广义力,广义力及以广义力表示的质系平衡条件,虚位移原理：,广义力,令：,27,由于广义坐标是独立的，因此也是独立的。,对应于广义坐标的广义力,若系统有k个自由度，虚位移原理可表示为,因此有：,广义力表示的平衡条件,虚功：,虚位移原理：,问题：用虚位移原理建立的独立平衡条件有几个？,具有k个自由度的平衡系统来说，可以建立k个独立的平衡方程，即：独立平衡方程的数目与系统的自由度数相等。,28,如何计算广义力？,广义力表示的平衡条件,虚位移原理：,广义力：,(1)给出所有广义坐标方向上的正向虚位移，计算虚功，前面的系数就是。(解析法，几何法),29,(1)给出所有广义坐标方向上的虚位移，计算虚功，前面的系数就是。(解析法，几何法),(2)取一组特定虚位移，除不为零(正向虚位移)，其余广义坐标虚位移均为零，计算虚功，则：,例：求对应于的广义力。,注意：给定正向虚位移。,30,例：OB=BC=L，CD=DE，在该处系统平衡，此时三根杆相互垂直。E处弹簧的刚度系数为k1，O处螺线弹簧刚度系数为k2，受力如图所示。求平衡时水平弹簧的变形l和螺线弹簧的变形f。,机构平衡时主动力关系,解：自由度数本题解决：取广义坐标：,(1)令一个广义坐标方向的虚位移为零,(),可由虚位移原理：,虚位移关系如图,得到对应的广义力：,31,(2)令另外一个方向的虚位移为零虚位移关系如图可由虚位移原理：得到对应的广义力：,注意如何求两个或多个自由度问题的广义力。,弹簧为压缩状态，压缩量：,如何求分布力的虚功。,32,虚位移原理,第二类问题：求平衡位置,第一类问题：求主动力之间关系,可解决的问题：,机构,第三类问题：求静定结构的约束力,33,例：结构及其受力如图所示，求A端的约束力。,(1)求A端的约束力偶。,34,(1)求A端的约束力偶。,解：,将固定端A变成固定铰链将约束力偶变为主动力偶给出虚位移（如图所示）根据虚位移原理,求y向约束力怎样处理A端约束？,35,A,B,C,D,D,将固定端A变成图示铰链将竖直约束力变为主动力给出虚位移（如图所示）根据虚位移原理,(2)求A端的y向约束力。,36,A,B,C,D,D,将固定端A变成图示铰链将水平约束力变为主动力给出虚位移（如图所示）根据虚位移原理,(3)求A端的x向约束力。,37,例:图示桁架，各杆长度均为l。求:FDE,FBC内力。,38,解：,几何法:先求FDE,对具有转动中心的刚体，可用力对转动中心的矩所做的虚功来代替力的虚功。,39,再求FBC,10kN,15kN,A,C,D,E,B,40,例、一屋架尺寸及受荷如图所示，求DK杆的内力,解：将DK杆截开，成为4个相互运动的刚体：刚片ACK、刚片DHG、杆CD、杆KH,K,D,分析虚位移,杆KH,刚片DHG,瞬心在G点,杆CD,瞬心在D点,41,K,D,由虚位移原理：,得：,要点：截断杆后，本题为多个刚体相互运动，要分析每个刚体虚位移关系(基点法或瞬心法)。,42,例：拱架结构,F1=2kN，F2=1kN，求:支架D、C处反力。,43,解：,1.求FDy,44,2.求FDx,45,3.求FCy,46,一、有势力场中的平衡条件,势力场中质点系平衡条件及平衡稳定性,广义力表示的平衡条件,若在势力场中用虚位移原理建立的平衡条件是何形式？,有势力的虚功：,由虚位移原理,虚位移原理：,47,质点系在势力场中的平衡条件,由虚位移原理,由广义坐标的独立性,广义力：,48,取=0为系统的零势能位置,平衡位置,例：系统如图所示，滑块的质量为m,杆长为L(不计质量),弹簧刚度系数分别为。当杆铅垂时，弹簧无变形，求系统的平衡位置。,解：有势系统，1自由度，选广义坐标q,势函数在该位置有可能取得极值,势力场中质系平衡时，势能具有驻值。,求得的广义坐标值为驻点，对应的势函数值为驻值,49,二、质点系在有势力场中平衡的稳定性,观察下面三个质点平衡状态,平衡的稳定性(stabilityofequilibrium)：质点系处于某一平衡位置，若受到微小干