第二节 拉氏变换公式

第二节拉氏变换,设函数f(t)满足：1.f(t)实函数；2.当t0时，f(t)=0；3.当t0时,f(t)在每个区间上是分段连续的3.f(t)的积分在s的某一域内收敛，s为复变数,一、拉氏变换的定义,则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中：s=+j（，均为正实数）；,F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数;f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。,（29）,拉氏反变换的定义,其中L1为拉氏反变换的符号。,称为收敛因子。,积分的结果不再是t的函数，而是复变量s的函数。所以拉氏变换是把一个时间域的函数f(t)变换到s域内的复变函数F(s)。,用符号L-1表示对方括号里的复变函数作拉氏反变换。,（210）,（211）,阶跃函数的拉氏变换,二、典型函数的拉氏变换,（212）,单位速度函数的拉氏变换,（213）,幂函数拉氏变换（法1）,根据函数,则,令,（214）,幂函数的拉氏变换（法2）,（215）,单位加速度函数拉氏变换,（216）,单位脉冲函数拉氏变换,（217）,指数函数的拉氏变换,（218）,例2-1：求解函数,的拉氏变换,三角函数的拉氏变换,（219）,（220）,例2-2：求解函数,的拉氏变换,高等函数初等函数,指数函数三角函数单位脉冲函数单位阶跃函数单位速度函数单位加速度函数幂函数,典型函数的拉氏变换小结,例2-3：求解函数,的拉氏变换,三、拉氏变换的主要运算定理,线性定理微分定理积分定理位移定理延时定理卷积定理初值定理终值定理,比例定理,线性定理,叠加定理,LK(1-e-at),=LK-LKe-at,结论：由此可见，根据拉氏变换的线性性质，求函数乘以常数的象函数以及求几个函数相加减的结果的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行计算。,例2-4：求以下函数的拉氏变换：,f(t)=K(1-e-at),微分定理,原函数的高阶导数像函数中s的高次代数式,多重微分,（221）,解：（1）,例2-5：利用导数性质求以下函数的象函数：,（1）f(t)=cos(t)（2）f(t)=(t),（2）,由于(t)=d(t)/dt,=1,f(t)=(t),=,s,-,0,积分定理,多重积分,（222）,例2-6：利用积分性质求函数f(t)=t的象函数,解：f(t)=t,Lf(t)=,衰减定理（复位移定理）,（223）,例2-7：求的拉氏变换,解：直接用复位移定理得：,求的拉氏变换？,原函数平移像函数乘以e-s,延时定理（实位移定理）,（224）,T,例2-8：求f(t)的象函数,解：,f(t)=,=A(t),A,-A(t-T),Lf(t)=,A/s-,A/s,e-sT,f(t)+f(t),例2-9：求图所示三角波的拉氏变换,从图可知，三角波左边函数斜率为，右边函数斜率为，则分段函数可表示为：,终值定理,（225）,初值定理,（226）,卷积定理,（227）,证：令,则,再令,则,尺度变换定理,（228）,复数域积分定理,证：,（229）,例2-10：求如下函数的拉氏变换,证：,复数域微分定理,推论：,（230）,例2-11：求如下函数的拉氏变换,例2-12：已知因果函数f(t)的象函数,求的象函数,解：由于,利用实位移定理,由尺度变换定理,由复位移定理,练习,练习2-1：求如下函数的拉氏变换,练习2-2：求如下函数的拉氏变换,练习2-3：求如下函数的拉氏变换,练习2-4：求如下函数的拉氏变换,练习2-5：求如下函数的拉氏变换,练习2-6：求如下函数的拉氏变换,练习2-7：求如下函数的拉氏变换,练习2-8：求如下函数的拉氏变换,练习2-9：求如下函数的拉氏变换,练习2-1：求如下函数的拉氏变换,练习2-2：求如下函数的拉氏变换,练习2-3：求如下函数的拉氏变换,练习2-4：求如下函数的拉氏变换,练习