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第九章 多元函数微分法及其应用1填空题(1)若在区域上的两个混合偏导数， 连续 ，则在上， 。(2)函数在点处可微的 必要 条件是在点处的偏导数存在。2求下列各极限(1) (2)解：原式 解：原式 (3) 解：原式 3设，求及解：，4求下列函数的偏导数(1)解： 类似地(2)解： 同理可证得：(3)解： 5设，求全导数。解：， ， 依复合函数求导法则，全导数为 6设，求。解： 7求方程所确定的函数的偏导数。解：关于求导，得到，即关于求导，有，即。8设，求所有二阶偏导数。解：先求一阶偏导数，得，再求二阶偏导数，得 ， ， ， 9设是由方程确定的隐函数，求，。解一：记，则 ， 当时，便得， 。解二：（提示）直接对方程两边求偏导数，并明确是、的函数，即可得，。10设，求。解：令，则，则 。11设是由方程确定的隐函数，求，。解：方程两边对求偏导数，有 ，即 解得 类似地，方程两边对求偏导数，解得 再求二阶混合偏导数，得 把上述的结果代入，便得：。12设，求全微分。解：由于，所以全微分为 。13求函数在点的全微分。解：， 所以。14求曲面上点处的切平面方程和法线方程。解：记，则，于是曲面在点处的法线向量为从而，切平面方程为，即，法线方程为。15求曲线，上点，使在该点处曲线的切线平行于平面。解：曲线在点处的切线方程为又切线与平面平行，即切线的方向向量和平面的法向量垂直，应有，即，得所以点的坐标为。16求函数的极值。解：解方程组，求得驻点，由于，所以在点处，函数取得极大值，极大值为。17求函数的极值。解：解方程组，得驻点。由于，在点处，所以函数在点处取得极小值，极小值为。18二元函数在点处：连续，偏导数存在；连续，偏导数不存在；不连续，偏导数存在；不连续，偏导数不存在。解：应选事实上，由于，随的值不同而改变，所以极限不存在，因而在点处不连续，又，类似地，所以在处的偏导数存在。19设，求，。解：令，于是，得，。20设，求。解：令，于是在处。20设是由方程所确定的隐函数，其中具有连续的偏导数，求，并由此求和。解：方程两边求全微分，得，即，即 ，
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