离散型随机变量及其分布.ppt

1,为了描述随机变量X，我们不仅需要知道随机变量X的所有可能取值，而且还应知道X取每个值的概率.为此我们有以下定义：,如果随机变量的取值是有限个或可数个(即能与自然数的集合一一对应），则称该变量为离散型随机变量。,2.2离散型随机变量及其分布律,2,定义设X是一个离散型随机变量，它可能取值为并且取各个值的对应概率为即,则称上式为离散型随机变量X的概率分布，又称分布律。,分布律也可以通过列表表示：,其中第一行表示随机变量所有可能的取值，第二行表示这些取值所对应的概率。,3,且,则该数列可以定义为某离散型随机变量的分布律。,分布律的性质,反过来，假如有一列数满足,4,例1如右图所示，从中任取3个球。取到的白球数X是一个随机变量。,X可能取的值是0,1,2。取每个值的概率为,其分布律为,5,例2某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X的概率函数分布列.,解:显然，X可能取的值是1,2,，,于是,设=第发命中，,6,类似地，有,这就是求所需射击发数X的分布列.,对于离散型随机变量，如果知道了它的概率函数,也就知道了该随机变量取值的概率规律.下一节，我们将介绍连续型随机变量。,称服从参数为的几何分布。,7,例3进行独立重复试验，每次成功的概率为p，令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数，求X的分布律。,解:m=1时,m1时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,PX=m+1=P第m+1次试验时成功并且在前m次试验中成功了m-1次,8,(1)01分布,注其分布律可写成,01分布描述，如产品是否合格、人口性别统,计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.,9,(2)二项分布,n重Bernoulli试验中,X是事件A在n次试验中发生的次数,P(A)=p,若,则称X服从参数为n,p的二项分布，记作,01分布是n=1的二项分布,10,二项分布的取值情况,设,由图表可见,当时，,分布取得最大值,此时的称为最可能成功次数,11,12,设,由图表可见,当时，,分布取得最大值,13,14,二项分布中最可能出现次数的定义与推导,则称为最可能出现的次数,15,当(n+1)p整数时,在k=(n+1)p处的概率取得最大值,16,例4独立射击5000次,每次命中率为0.001,例4,解(1)k=(n+1)p,=(5000+1)0.001=5,求(1)最可能命中次数及相应的概率；,(2)命中次数不少于1次的概率.,17,(2)令X表示命中次数,则XB(5000,0.001),18,分析,这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.,例5,19,解,20,图示概率分布,21,(3)Poisson分布,22,例6设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。,解:由题意,23,在某个时段内：,大卖场的顾客数；,某地区拨错号的电话呼唤次数；,市级医院急诊病人数；,某地区发生的交通事故的次数.,一个容器中的细菌数；,一本书一页中的印刷错误数；,一匹布上的疵点个数；,放射性物质发出的粒子数；,24,都可以看作是源源不断出现的随机质点流,若它们满足一定的条件,则称为Poisson流,在长为t的时间内出现的质点数XtP(t),可见泊松分布的应用是相当广泛的，而且由下面定理可以看到二项分布与泊松分布有着密切的联系。,泊松定理在二项分布中，如果,是常数），则成立,25,例7某种药品的过敏反应率为，今有20000人使用此药品，求20000人中发生过敏反应的人数不超过3的概率。,解以表示20000人中发生过敏反应的人数，则服从二项分布，所求的概率为：,26,如果利用近似公式,计算，可以得到：，且,比较两个结果可以看到，近似程度是很高的。,27,例8设一只昆虫所生虫卵数为随机变量X,例7,设各个虫卵是否能发育成幼虫是相互