工程力学--轴向拉压杆的应力及变形

第4章轴向拉压杆的应力及变形,4.1材料力学的基本假设及基本概念,4.2拉压杆横截面上的轴力及轴力图,4.3应力.拉压杆内的应力,4.4轴向拉（压）杆的变形.胡克定律,4.5拉压超静定问题,4.1材料力学的基本假设及基本概念,4.1材料力学的基本假设及基本概念,在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称为变形固体（deformablebody），而构件一般均由固体材料制成，故构件一般都是变形固体。,静力学中，力为滑移矢量，力偶矩矢为自由矢。材料力学中，力与力偶矩矢均不能自由平移。,变形不等效,一、研究对象,4.1材料力学的基本假设及基本概念,构件：机器、结构中的零、部件的统称。,杆件（bar）:,板（plate）:平板、壳,块体（body）,杆：一个方向的尺寸远大于其它两个方向的尺寸,纵向（长的一个方向）横向（短的两个方向）,横截面：垂直于长度方向的截面,轴线：所有横截面形心的连线横截面和轴线是相互垂直的,直杆：轴线为直线等直杆：轴线为直线，横截面相同曲杆：轴线为曲线,4.1材料力学的基本假设及基本概念,二、材料力学的任务,强度(Strength)：即抵抗破坏的能力,刚度(Stiffness)：即抵抗变形的能力,稳定性(Stability)：即保持原有平衡状态的能力,构件的强度、刚度和稳定性不仅与构件的形状有关，而且与所用材料的力学性能有关，因此在进行理论分析的基础上，实验研究是完成材料力学的任务所必需的途径和手段。,构件（element）的承载能力,4.1材料力学的基本假设及基本概念,强度不足破坏,4.1材料力学的基本假设及基本概念,刚度不足破坏,4.1材料力学的基本假设及基本概念,稳定性不足破坏,4.1材料力学的基本假设及基本概念,在满足强度、刚度、稳定性的要求下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸、选择适宜的材料，而提供必要的理论基础和计算方法。,材料力学的任务:,4.1材料力学的基本假设及基本概念,三、基本假设,2各向同性假设(isotropyassumption)认为在物体内各个不同方向的力学性能相同,3小变形假设,远小于构件的最小尺寸，所以通过节点平衡求各杆内力时，把支架的变形略去不计。计算得到很大的简化。,1均匀连续性假设（continuityassumption）认为材料无空隙地分布于物体所占的整个空间中认为物体内的任何部分，其力学性能相同,4.1材料力学的基本假设及基本概念,四、外力与内力,外力：,按外力作用的方式,体积力:,如物体的自重和惯性力。,表面力,连续作用于物体表面的力。如油缸内壁的油压力，水坝受到的水压力。,若外力作用面积远小于物体表面的尺寸，可作为作用于一点的集中力。如火车轮对钢轨的压力,滚动轴承对轴的反作用力等。,分布力：,集中力：,连续分布于物体内部各点的力。,4.1材料力学的基本假设及基本概念,按时间,静载：,动载：,缓慢加载（a0）,自重，变化相对较慢,快速加载（a0），或冲击加载,内力物体因受外力作用而使其内部各部分之间因相对位置改变而引起的相互作用；材料力学中的内力，是指外力作用下，物体各质点之间相互作用力的变化量，所以是物体内部各部分之间因外力而引起的附加相互作用力，即“附加内力”；内力随外力的增加而加大，随外力的撤除而消失。,4.1材料力学的基本假设及基本概念,拉压变形,(1)拉伸或压缩,六、杆件的基本变形,变形特点:杆的变形主要是轴向伸缩伴随横向缩扩。,外力特点:外力的合力作用线与杆的轴线重合。,4.1材料力学的基本假设及基本概念,剪切变形,(2)剪切,外力特点：作用在构件两侧面上的外力合力大小相等、方向相反且作用线很近。,变形特点：位于两力之间的截面发生相对错动。,4.1材料力学的基本假设及基本概念,扭转变形,(3)扭转,变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动.,外力特点：在垂直于杆件轴线的两个平面内，作用一对大小相等、转向相反的力偶。,4.1材料力学的基本假设及基本概念,弯曲变形,(4)弯曲,外力特点：杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用。,变形特点：轴线由变形前的直线变成了曲线。,4.2拉压杆横截面上的轴力及轴力图,4.2拉压杆横截面上的轴力及轴力图,截开：,代替：,平衡：,1轴力(axialforce)轴向拉压杆的内力，用N表示。,2轴力的正负规定:,3轴力图：轴力沿杆件轴线变化的图形。,拉为正，压为负。,同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。,压力为负,拉力为正,4.2拉压杆横截面上的轴力及轴力图,已知F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。,例题4-1,解：1、计算各段的轴力。,AB段,BC段,CD段,2、绘制轴力图。,4.2拉压杆横截面上的轴力及轴力图,1反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；,2确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。,轴力图意义:,3特点：突变值=集中载荷大小,（方向？同学自己思考）,4.2拉压杆横截面上的轴力及轴力图,设轴力为正时，任一横截面上的轴力等于横截面一侧所有外力在杆轴线上投影的代数和，背离截面的外力为正，指向截面的外力为负。,轴力(图)的简便求法,由内力方程得：,例4-2杆受力如图所示。试画出杆的轴力图。,BD段：,解：DE段：,AB段：,注：内力的大小与杆截面的大小无关，与材料无关。,轴力图要求：1.正负号2.数值3.阴影线与轴线垂直,4.2拉压杆横截面上的轴力及轴力图,应力的概念,一点的应力：当面积趋于零时，平均应力的大小和方向都将趋于一定极限，得到,应力总量P可以分解成:垂直于截面的分量正应力平行于截面的分量切应力,平均应力:某范围内单位面积上内力的平均集度,由外力引起的内力集度称为应力。,4.3拉压杆内的应力,应力的国际单位为Pa1N/m2=1Pa（帕斯卡）1MPa=106Pa1GPa=109Pa,应力的特点,（2）应力是矢量。,（3）截面上各点应力在截面合成结果为该截面的内力。,（1）应力定义在受力构件某一截面的某一点处。,变形前,1实验观察变形：,2平面假设(planeassumption)：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，且垂直于轴线。,受载后,拉压杆内的应力,4.3应力拉压杆内的应力,3横截面上应力分布,受拉力P,均匀性假设,连续性假设,4.3应力拉压杆内的应力,计算机模拟横截面上正应力的分布,4.3应力拉压杆内的应力,4、横截面上应力公式,正应力符号规定:,单位:FN牛顿(N)A平方米(m2)帕斯卡(pa)1MPa=106Pa1GPa=109Pa,当FN为拉力时，为拉应力，规定为正，当FN为压力时，为压应力，规定为负,解：,AB段：,BC段：,CD段：,|max=50MPa,若AAB=ABC=500mm2，ACD=200mm2，,求各杆段的正应力及整个杆件最大正应力|max。,4.3应力拉压杆内的应力,例题4-3,图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为1515的方截面杆。,解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）取节点B为研究对象：,45,F,2、计算各杆件的应力。,45,4.3应力拉压杆内的应力,4.3应力拉压杆内的应力,三、斜截面上应力,4.3应力拉压杆内的应力,正应力：拉为正，压为负。剪应力：绕脱离体顺时针转向时为正。的符号：由x轴逆时针转到外法线n时为正。,符号规定：,p,4.4轴向拉压杆的变形胡克定律,4.4轴向拉压杆的变形胡克定律,纵向伸长量:,纵向线应变:,虎克定律:,EA值愈大，变形愈小，因此，EA值反映了杆件抵抗拉伸(或压缩)变形的能力，称之为杆件的抗拉刚度(tensilerigidity)。,4.4轴向拉压杆的变形胡克定律,杆件横向绝对变形为,由试验可知，二横向线应变相等，,为材料的横向变形系数或泊松比,应力不超过比例极限时：,图示阶梯杆，已知：A1=8cm2，A2=4cm2，E=200GPa，求总伸长。,解：,一、内力分析,二、求,4.4轴向拉压杆的变形胡克定律,例4-4一阶梯轴钢杆如图，AB段A1200mm2，BC和CD段截面积相同A2A3500mm2；l1=l2=l3=100mm。荷载P120kN，P240kN，弹性模量E200GPa。试求：(1)各段的轴向变形；(2)全杆AD的总变形；(3)A和B截面的位移。,解：(1)求各段轴力，作轴力图,(2)求各段变形,BC段,AB段,CD段,4.4轴向拉压杆的变形胡克定律,(3)求全杆总变形,（缩短）,(4)求A和B截面的位移,4.4轴向拉压杆的变形胡克定律,2变形图严格画法，图中弧线；,1求各杆的变形量Li;,3近似画法，切线代圆弧,切线代圆弧法,4.4轴向拉压杆的变形胡克定律,例4-7如图所示一简易托架，BC杆为圆截面钢杆，其直径d=18.5mm，BD杆为8号槽钢。若两杆的=160MPa，E=200GPa，设P=60kN。试求B点的位移。,解：(1)计算杆的内力,(2)计算B点的位移,4.4轴向拉压杆的变形胡克定律,由“切线代圆弧”法，B点的垂直位移为,B点的水平位移,B点的总位移,4.5拉压超静定问题,2超静定问题：单凭静力平衡方程不能确定出全部未知力（外力、内力、应力）的问题。,4.5.1基本方程,1静定问题：单凭静力平衡方程能确定出全部未知力（外力、内力、应力）的问题。,4.5拉压超静定问题,4.5拉压超静定问题,3超静定次数n：n=未知内力数有效的平衡方程数,4超静定问题的解题方法步骤：(1)平衡方程(2)几何方程变形协调方程(3)物理方程虎克定律(4)补充方程：由几何方程和物理方程得(5)解由平衡方程和补充方程组成的方程组,4.5拉压超静定问题,4.5.2超静定问题的基本分析方法的应用,例4-7设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：L1=L2=L、L3；各杆面积为A1=A2=A、A3；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。,解:(1)平衡方程:,4.5拉压超静定问题,(2)几何方程变形协调方程：,(3)物理方程弹性定律：,(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：,(5)解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得:,4.5