数学分析第四十次课

二、典型例题,例1,解,原方程可化为,代入原方程得,分离变量,两边积分,所求通解为,例2,解,原式可化为,原式变为,对应齐方通解为,一阶线性非齐方程,伯努利方程,代入非齐方程得,原方程的通解为,利用常数变易法,例3,解,代入方程，得,故方程的通解为,例4,解,特征方程,特征根,对应的齐次方程的通解为,设原方程的特解为,原方程的一个特解为,故原方程的通解为,解得,所以原方程满足初始条件的特解为,例5,解,特征方程,特征根,对应的齐方的通解为,设原方程的特解为,解得,故原方程的通解为,例6,解,（）由题设可得：,解此方程组，得,（）解1原方程为,由解的结构定理得方程的通解为,解2,而对应齐次方程有解,微分方程的通解.,方程化为,设二阶非齐次方程,一阶线性非齐次方程,故,再积分得通解,复习:一阶线性微分方程,通解公式:,解,例7,这是一个欧拉方程,代入原方程得,(1),和(1)对应的齐次方程为,(2),(2)的特征方程为,特征根为,(2)的通解为,设(1)的特解为,得(1)的通解为,故原方程的通解为,例8求下列方程的通解,故为分离变量方程:,通解,(2)这是一个齐次方程，,令y=ux,化为分离变量方程:,方程两边同除以x即为齐次方程，令y=ux,化为分离变量方程.,调换自变量与因变量的地位,化为,用线性方程通解公式求解.,例9.求下列方程的通解:,(1),令u=xy,得,(分离变量方程),原方程化为,(2)将方程改写为,(伯努利方程),令y=ut,(齐次方程),令t=x1,则,可分离变量方程求解,化方程为,特征根:,例10求微分方程,故通解为,满足条件,解满足,处连续且可微的解.,设特解:,代入方程定A,B,得,得,处的衔接条件可知,解满足,故所求解为,其通解:,定解问题的解:,的解.,例11,设函数,内具有连续二阶导,(1)试将xx(y)所满足的微分方程,变换为yy(x)所满足的微分方程;,(2)求变换后的微分方程满足初始条件,数,且,解:,上式两端对x求导,得,(1)由反函数的导数公式知,(2003考研),代入原微分方程得,(2)方程的对应齐次方程的通解为,设的特解为,由初始条件,得,故所求初值问题的解为,代入得,从而得的通解:,例12求以,为通解的微分方程.,由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,例13求下列微分方程的通解,(1)令,则方程变为,特征根:,齐次方程通解:,令非齐次方程特解为,代入方程可得,思考,若(2)中非齐次项改为,提示:,原方程通解为,特解设法有何变化?,例14求解,令,则方程变为,积分得,利用,再解,并利用,定常数,思考,若问题改为求解,则求解过程中得,问开方时正负号如何确定?,例15设,对积分换元,则有,解初值问题:,答案:,思考:能否根据草图列方程?,例16已知某曲线经过点(1,1),轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.,解设曲线上的动点为M(x,y),令X=0,得截距,由题意知微分方程为,即,定解条件为,此点处切