第8章-弯曲变形(土木类)

,第八章弯曲变形,材料力学,81概述82梁的挠曲线近似微分方程,84按叠加原理求梁的挠度与转角,85梁的刚度校核,第八章弯曲变形,86简单超静定梁的求解方法,83积分法求弯曲变形,87如何提高梁的承载能力,8概述,弯曲变形,研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：对梁作刚度校核；解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。,1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用y表示(单位mm）。与y同向为正，反之为负。,2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用表示（单位rad）。由变形前的横截面转到变形后，顺时针为正，逆时针为负。,二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为：y=f(x),三、转角与挠曲线的关系：,弯曲变形,一、度量梁变形的两个基本位移量,小变形,一、曲率与弯矩的关系：,二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式),三、挠曲线与弯矩的关系：联立（1）、（2）两式得,8-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分,挠曲线近似微分方程的近似性忽略了“Q”以及对变形的影响,使用条件：弹性范围内工作的细长梁。,结论：挠曲线近似微分方程,x,y,弯曲变形,(C1、C2为积分常数),8-3积分法求弯曲变形,步骤：（EI为常量）,1、根据荷载分段列出弯矩方程M（x）。,2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分,3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。,4、确定挠曲线方程和转角方程。,5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。,弯曲变形,考察（集中力、集中力偶作用处，截面变化处）,连续条件：,边界条件：,（1）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。,（2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。,（3）、在弯矩方程分段处：一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。,讨论：适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。,弯曲变形,积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。,可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。,优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。,例1求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。,建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程的积分并积分,应用位移边界条件求积分常数,弯曲变形,解：,L,写出弹性曲线方程并画出曲线,最大挠度及最大转角,弯曲变形,解：建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程的积分并积分,弯曲变形,例1求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。,应用位移边界条件求积分常数,弯曲变形,写出弹性曲线方程并画出曲线,最大挠度及最大转角,弯曲变形,P,C,解：a)建立坐标系并写出弯矩方程,b)写出微分方程并积分,例2求图示梁的跨中的挠度和转角（EI=常数）,左侧段（0x1a）：,右侧段（ax2L）：,弯曲变形,（0x1a）,（ax2L）,e)跨中点挠度及两端端截面的转角,d)确定挠曲线和转角方程,c)应用位移边界条件和连续条件求积分常数,x=0,y=0;x=L,y=0.x1=x2=a，y1=y2；y1=y2,两端支座处的转角,弯曲变形,讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。,左侧段：,右侧段：,当ab时,当ab时最大挠度发生在AC段,弯曲变形,2、a=b时此梁的最大挠度和最大转角。,F,C,弯曲变形,解：a)建立坐标系并写出弯矩方程,b)写出微分方程并积分,c)应用位移边界条件求积分常数,d)确定挠曲线和转角方程,e)最大挠度及最大转角,x=0,y=0;x=L,y=0.,例3：求分布载荷简支的最大挠度和最大转角(EI=常数）,弯曲变形,8-4叠加法求弯曲变形,一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。,二、结构形式叠加（逐段刚化法）：,弯曲变形,前提：小变形，线弹性使梁的挠度、转角均与载荷成线形关系。,P154表8-1,例4按叠加原理求A点转角和C点挠度。,解、载荷分解如图,由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。,弯曲变形,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,弯曲变形,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,叠加,例6结构形式叠加（逐段刚化法)原理说明。,=,+,弯曲变形,8-5提高梁弯曲刚度的措施,一、梁的刚度条件,其中y称为许用挠度；称为许用转角；f/L称为许用挠跨比。由具体工作条件定,可查手册.通常依此条件进行如下三种刚度计算：,、校核刚度：,、设计截面尺寸；、设计载荷。,弯曲变形,(但：对于一般工程结构，强度常处于主要地位。特殊构件例外）,例7下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的f=0.00001,B点的=0.001弧度,试核此杆的刚度。,=,+,+,=,弯曲变形,=,+,+,图1,图2,图3,解：结构变换，查表求简单载荷变形。,弯曲变形,=,+,+,图1,图2,图3,弯曲变形,叠加求复杂载荷下的变形,校核刚度,弯曲变形,8-6简单超静定梁的求解方法,1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。,解：建立静定基,确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构静定基。,=,弯曲变形,A,B,几何方程变形协调方程,+,弯曲变形,=,物理方程变形与力的关系,补充方程,求解其它问题（反力、应力、变形等）,几何方程变形协调方程：,解：建立静定基,=,例8结构如图，求B点反力。,LBC,弯曲变形,C,=,+,=,LBC,弯曲变形,C,+,物理方程变形与力的关系,补充方程,求解其它问题（反力、应力、变形等）,8-7如何提高梁的承载能力,强度：正应力：,剪应力：,刚度：,稳定性：,都与内力和截面性质有关。,弯曲变形,弯曲变形,一、选择梁的合理截面,矩形木梁的合理高宽比,北宋李诫于1100年著营造法式一书中指出:矩形木梁的合理高宽比(h/b=)1.5,英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义一书中指出:矩形木梁的合理高宽比为,一般的合理截面,弯曲变形,1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面,弯曲变形,弯曲变形,工字形截面与框形截面类似。,弯曲变形,2、根据材料特性选择截面形状,如铸铁类材料，常用T字形类的截面，如下图：,二、采用变截面梁,最好是等强度梁，即,若为等强度矩形截面，则高为,同时,弯曲变形,三、合理布置外力（包括支座），使Mmax尽可能小。,弯曲变形,四、梁的侧向屈曲,1.矩形纯弯梁的临界载荷,弯曲变形,2.工字钢形截面纯弯梁的临界载荷,弯曲变形,由上可见，Iy过小时，虽然强度和刚度较高，但侧向失稳的可能性却增大了，这点应引起注意。,五、选用高强度材料，提高许用应