12-弯曲变形课件

,材料力学,第6章弯曲变形,Friday,May1,2020,6-1基本概念及工程实例,6-4用叠加法求弯曲变形,6-3用积分法求弯曲变形,6-2挠曲线的微分方程,6-5静不定梁的解法,6-6提高弯曲刚度的措施,第六章弯曲变形,6-1基本概念及工程实例,一、工程实例,二、研究目的:,1、解决梁的刚度问题,2、求解静不定梁,3、为研究稳定问题打基础,1、挠度横截面形心C(即轴线上的点)在垂直于x轴方向的线位移,称为该截面的挠度，用w表示。,三、梁的变形描述,2、转角横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角.用表示,3、挠曲线梁变形后的轴线称为挠曲线.,式中,x为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w为该点的挠度。,挠曲线,挠曲线方程,4、挠度与转角的关系,5、挠度和转角符号的规定,挠度向上为正,向下为负.,转角自x转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负.,62挠曲线近似微分方程,一、推导公式,1、纯弯曲时曲率与弯矩的关系,横力弯曲时,M和都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影响,则,2、由数学得到平面曲线的曲率,在规定的坐标系中,x轴水平向右为正,w轴竖直向上为正.,曲线向上凸时,曲线向下凸时:,此式称为梁的挠曲线近似微分方程,与1相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为,一、微分方程的积分,若为等截面直梁,其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成,1、积分一次得转角方程,2、再积分一次,得挠度方程,6-3用积分法求弯曲变形,二、积分常数的确定,1、边界条件,2.连续条件：分段处挠曲轴应满足的连续、光滑条件,$挠曲轴在B、C点连续且光滑,连续:,光滑:,例题1图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在自由端受一集中力F作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度和最大转角,y,(1)弯矩方程为,解：,(2)挠曲线的近似微分方程为,对挠曲线近似微分方程进行积分,梁的转角方程和挠曲线方程分别为,边界条件,将边界条件代入(3)(4)两式中,可得,y,x,解:由对称性可知，梁的两个支反力为,此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为,梁的转角方程和挠曲线方程为,边界条件,在x=0和x=l处转角的绝对值相等且都是最大值，,最大转角和最大挠度分别为,在梁跨中点处有最大挠度值,例题4图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在D点处受一集中力F的作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转角.,A,B,F,D,a,b,l,解:梁的两个支反力为,两段梁的弯矩方程分别为,（一）分段建立弯矩方程和挠曲线近似微分方程并积分二次,D点的连续条件,边界条件,在x=a处,在x=0处，,在x=l处，,代入方程可解得:,1,2,将x=0和x=l分别代入转角方程左右两支座处截面的转角,当ab时,右支座处截面的转角绝对值为最大,当ab时,x1a最大挠度确实在第一段梁中,梁中点C处的挠度为,结论:在简支梁中,不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上无拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,其精确度是能满足工程要求的.,梁的变形微小,且梁在线弹性范围内工作时,梁在几项荷载(可以是集中力,集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角，就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加.当每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿v轴方向),其转角是在同一平面内(如均在xy平面内)时,则叠加就是代数和.这就是叠加原理.,一、叠加原理,6-4用叠加法求弯曲变形,1、载荷叠加多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和.,2、结构形式叠加（逐段刚化法）,例题5一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示.试按叠加原理求梁跨中点的挠度wC和支座处横截面的转角A,B。,解：将梁上荷载分为两项简单的荷载,如图所示,例6求图示梁C截面的挠度。,A,C,B,EI,a,a,q,解：,+,例7:求图示外伸梁C点的挠度和转角（逐段刚化法）,刚化AB,可视BC为悬臂梁,考虑AB段变形(刚化BC),例题8试利用叠加法,求图所示抗弯刚度为EI的简支梁跨中点的挠度wC和两端截面的转角A,B.,解:可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠加.,（1）正对称荷载作用下,（2）反对称荷载作用下,在跨中C截面处,挠度wC等于零,但转角不等于零且该截面的弯矩也等于零,可将AC段和BC段分别视为受均布线荷载作用且长度为l/2的简支梁,可得到：,将相应的位移进行叠加,即得,例9：EI=常值，求,+,基本概念,1.超静定梁,单凭静力平衡方程不能求出全部支反力的梁,称为超静定梁,6-5静不定梁的解法,2.“多余”约束,多于维持其静力平衡所必需的约束,3.“多余”反力,与“多余”约束相应的支座反力,4.超静定次数,超静定梁的“多余”约束的数目就等于其超静定次数.,n=未知力的个数-独立平衡方程的数目,二、求解超静定梁的步骤,1、画静定基建立相当系统：,2、列几何方程变形协调方程,变形几何方程为,3、列物理方程变形与力的关系,查表得,将力与变形的关系代入变形几何方程得补充方程,4、建立补充方程,补充方程为,由该式解得,5、求解其它问题（反力、应力、变形等）,求出该梁固定端的两个支反力,代以与其相应的多余反力偶mA得基本静定系.,变形相容条件为,请同学们自行完成！,方法二:,取支座A处阻止梁转动的约束为多余约束.,例10求图示结构中拉杆BC的轴力。,B,C,A,EA,q,a,EI,l,解：,去掉BC杆，带之以轴力FN。,一、梁的刚度条件,d许用挠度，q许用转角,一般用途轴：=(5/100003/10000)l重要轴：=(2/100001/10000)l起重机大梁：=(1/7001/1000)l土建工程中的梁：=(2/100001/10000)l安装齿轮或滑动轴承处：=0.001rad,6-6提高弯曲刚度的措施,二、梁的合理刚度设计,思路：,让材料远离截面中性轴，例如工字形与盒形薄壁截面合理安排约束与加载方式（分散载荷等）,依据,减小弯矩,增大刚度,措施：,合理安排约束与加载方式,增加约束，制作成静不定梁,（1）强度是局部量，刚度是整体量（积分）,与梁的合理强度设计的不同点,辅梁、等强度梁是合理强度设计的有效手段，提高梁的刚度须整体加强,小孔显著影响强度，但对刚度影