直线和抛物线的位置关系

直线和抛物线的位置关系,一、直线和抛物线的位置关系,方程组两组解,相交,方程组没有解,相离,方程组一组解,相切,若消元得到一次方程，直线和抛物线的对称轴平行或重合,为相交关系.,若消元得到二次方程,则,思考：只有一个交点一定是相切吗？,判断直线与抛物线位置关系的操作程序,把直线方程代入抛物线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与抛物线的对称轴平行或重合,相交（一个交点）,计算判别式,例1求过定点P（0，1）且与抛物线只有一个公共点的直线的方程.,综上所述，所求直线方程是x=0或y=1或,练习：当k为何值时,直线y=kx+1与抛物线,(1)相交,(2)相切,(3)相离?,解：由方程组,消去y，并整理得,当K0时，该方程是一元二次方程,所以,综上所述，当k1时直线和抛物线相离.,当k=0时，直线方程为y=1，与抛物线交于一点,例2：在抛物线上求一点，使它到直线2x-y-4=0的距离最小.,解：设P(x,y)为抛物线上任意一点，则P到直线2x-y-4=0的距离,此时y=1，所求点的坐标为P(1,1).,当且仅当x=1时，,另解:观察图象可知,平移直线至与抛物线相切,则切点即为所求.,联立得,设切线方程为2x-y+C=0，,由得C=-1,又由（）得x=1，y=1.,故所求点的坐标是（1，1）.,点评：此处用到了数形结合的方法.,x,y,O,p,1.过点(0,2)与抛物线只有一个公共点的直线有(）（A）1条(B)2条(C)3条(D)无数多条,C,互动练习,2.在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离。,分析：,抛物线上到直线距离最短的点，是和此直线平行的切线的切点。,y,x,y2=64x4x+3y+46=0,解：,无实根,直线与抛物线相离,设与4x+3y+46=0平行且与y2=64x相切的直线方程为y=-4/3x+b,L,P,则由,y=-4/3x+by2=64x,消x化简得y2+48y-48b=0,=482-4(-48b)=0,b=-12,切线方程为：y=-4/3x-12,y=-4/3x-12y2=64x,解方程组,得,x=9y=-24,切点为P（9，-24）,切点P到的距离d=,抛物线y2=64x到直线：4x+3y+46=0有最短距离的点为P（9，-24），最短距离为2。,二、抛物线的焦点弦性质,例1.过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(1)|AB|=x1+x2+p(2)通径长为2p(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;(4)若直线AB的倾斜角为,则|AB|=2p/sin2(5)以AB为直径的圆与准线相切.(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(1)|AB|=x1+x2+p(2)通径长为2p,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(5)以AB为直径的圆与准线相切.,故以AB为直径的圆与准线相切.,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;,证明：思路分析：韦达定理,F,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;,法3：利用性质焦点F对A、B在准线上射影的张角为90。,代入抛物线得y2ms，,练习(1).若直线过定点M(s,0)(s0)与抛物线y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证:x1x2=s2;y1y2=-2ps.,证明：设AB的方程为=ms（m）,(2).若直线与抛物线y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求证：直线过定点(s,0)(s0),证明：,若直线与抛物线y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),则直线过定点M(s,0)，(s0)x1x2=s2;y1y2=-2ps.,（1）M为焦点，即过（p/2，0）,x1x2=p2/4;y1y2=-p2.,（2）M过（p，0）,x1x2=4p2;y1y2=-4p2.,x1x2=p2;y1y2=-2p2.,（3）M过（2p，0）,（4）M过（3p，0）,x1x2=9p2;y1y2=-6p2.,（5）M过。,抛物线对称轴上的重要结论,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(4)若直线AB的倾斜角为,则|AB|=2p/sin2,证明:思路分析|AB|=|AF|+|BF|=,思考：焦点弦何时最短？,过焦点的所有弦中，通径最短,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则,例2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(1)AO交准线于C,则直线CB平行于抛线的对称轴.,例2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(2)过B作BC准线l,垂足为C,则AC过原点O共线.(2001年高考题),例3.A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OAOB，1.求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；2.求证：直线AB过定点；3.求弦AB中点P的轨迹方程；4.求AOB面积的最小值；5.求O在AB上的射影M轨迹方程.,二、抛物线中的直角三角形问题,例3.A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OAOB，(1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；,解答(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点P(x0,y0)，,OAOBkOAkOB=-1，x1x2+y1y2=0,y12=2px1，y22=2px2,y10,y20,y1y2=4p2x1x2=4p2.,例3.A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OAOB，(2)求证：直线AB过定点；,解答(2)y12=2px1，y22=2px2(y1y2)(y1+y2)=2p(x1x2),AB过定点T(2p,0).,同理，以代k得B(2pk2,-2pk).,例3.A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OAOB，(3)求弦AB中点P的轨迹方程；,即y02=px0-2p2，中点M轨迹方程y2=px-2p2,(3)设OAy=kx，代入y2=2px得:k0，,(4),当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立.,例3.A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OAOB，(4)求AOB面积的最小值；,(5)法一：设M(x3,y3),则,例3.A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OAOB，(5)求O在AB上的射影M轨迹方程.,由(1)知，y1y2=-4p2，,整理得：x32+y32-2px3=0，点M轨迹方程为x2+y2-2px=0(去掉(0,0).,M在以OT为直径的圆上点M轨迹方程为(x-p)2+y2=p2,去掉(0,0).评注：此类问题要充分利用(2)的结论.,OMT=90,又OT为定线段,法二：AB过定点T(2p,0).,7.A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OAOB，(5)求O在AB上的射影M轨迹方程.,小结：,在求轨迹方程问题中易于出错是对轨迹方程纯粹性及完备性的忽略。因此，在求出曲线方程之后而仔细检查有无“不法分子”掺杂其中，应将其剔除；另一方面又要注意有无“漏网之鱼”“逍遥法外”，应将其找回。,四、点与抛物线,点P(x0,y0)与抛物线y2=2px(p0)的位置关系及判断方法.,1.点在抛物线外,2.点在抛物线上,3.点在抛物线内,y02-2px00,y02-2px0=0,y02-2px0,l1,l2,【例题5】,如图所示，直线L1与L2相交于M点L1L2，NL2,以A,B为端点的曲线段C上的任一点到L1的距离与到点N的距离相等，为锐角三角形，,建立适当坐标系,求曲线C的方程。,分析：1.如何选择适当的坐标系。2.能否判断曲线段是何种类型曲线。3.如何用方程表示曲线的一部分。,如图所示，直线L1与L2相交于M点L1L2，NL2,以A,B为端点的曲线段C上的任一点到L1的距离与到点N的距离相等，为锐角三角形，,建立适当坐标系,求曲线C的方程。,l1,l2,解法一：,由图得，,曲线段C的方程为：,即抛物线方程：,建立如图所示的直角坐标系，原点为O(0,0),O,，,如图所示，直线L1与L2相交于M点L1L2，NL2,以A,B为端点的曲线段C上的任一点到L1的距离与到点N的距离相等，为锐角三角形，,建立适当坐标系,求曲线C的方程。,l1,l2,解法二：,曲线段C的方程为：,建立如图所示的直角坐标系，原点为O(0,0),O,y,x,B,A,M,N,Q,曲线段C的方程为：,（1）直线l过抛物线y2=2px(p0)的焦点且与x轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为6，则p=_,3,(2,0),x=-2,7,(2,4),(2,-4),（3）抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，焦点在x+2y-12=0上，则它的方程为_.,（4）抛物线y2=2x上的两点A、B到焦点的距离和为5，则线段AB中点到y轴的距离是_.,x2=24y,2,(5)一抛物线拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，则当水面下降1米后，水面宽_米。,x2=-2y,8.A、B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB.(1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB恒过定点；(3)求弦AB中点P的轨迹方程；(4)求AOB面积的最小值【解析】设A(x1，y1)，B