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(选修2-1)第三章空间向量与立体几何,3.2立体几何中的向量方法,用空间向量解决立体几何问题的步骤：,（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；,（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；,（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。,（化为向量问题）,（进行向量运算）,（回到图形）,一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,解：如图1，设,化为向量问题,依据向量的加法法则，,进行向量运算,所以,回到图形问题,这个晶体的对角线的长是棱长的倍。,思考：,（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？,（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?,分析:,分析:,这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。,（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？设AB=1（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）,H,分析：面面距离,点面距离,解：,所求的距离是,问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？,向量法求点到平面的距离：,其中,也就是AP在法向量n上的投影的绝对值,已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。,D,A,B,C,G,F,E,D,A,B,C,G,F,E,甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为求库底与水坝所成二面角的余弦值。,解：如图，,化为向量问题,根据向量的加法法则,进行向量运算,于是，得,设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。,因此,所以,回到图形问题,库底与水坝所成二面角的余弦值为,F1,F2,F3,A,C,B,O,500kg,例4,F1,F2,F3,A,C,B,O,500kg,z,x,y,F1,F2,F3,A,C,B,O,500kg,z,x,y,如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(1)求证：PA/平面EDB(2)求证：PB平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小。,A,B,C,D,P,E,F,例5,A,B,C,D,P,E,F,G,解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1,(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG,A,B,C,D,P,E,F,G,A,B,C,D,P,E,F,G,向量的模,用空间向量解决
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