7-第七章-弯曲变形(机械)

,材料力学,第七章弯曲变形,材料力学,2,第七章弯曲变形,7-1引言,7-2挠曲轴近似微分方程,7-3计算梁位移的积分法,7-5计算梁位移的叠加法,7-6简单静不定梁,7-7梁的刚度条件与合理刚度设计,材料力学,3,材料力学,7-1引言,工程中的弯曲变形,4,引言,5,引言,6,引言,7,x,w,x,w,F,w=w(x),梁发生平面弯曲时，其轴线弯成一平面曲线，称为梁的挠曲轴或挠曲线。,梁横截面形心的铅垂位移称为截面的挠度，用w表示。挠度以向上为正。,梁横截面绕中性轴转过的角度称为截面的转角，用表示。转角以逆时针为正。,梁不同截面的挠度和转角不同，它们是截面坐标的函数，称为梁的挠曲轴方程和转角方程。,引言,8,梁变形时，横截面始终保持平面，且始终与梁的轴线垂直，由高等数学可知：,小变形下，很小，tan，于是得,这就是梁变形时，挠度与转角的关系。,x,w,x,w,F,w=w(x),引言,9,7-2挠曲轴近似微分方程,挠曲轴的曲率与弯矩间的关系为,由高等数学可知，曲线的曲率为,小变形下，很小，于是得,材料力学,10,挠曲轴近似微分方程,x,w,M,M,M,M,这就是梁的挠曲轴近似微分方程，由此微分方程积分一次可求转角，再积分一次可求挠度。,x,w,O,O,11,7-3计算梁位移的积分法,梁的挠曲轴近似微分方程为,转角方程,挠度方程,解题关键：,1.正确建立梁的弯矩方程M(x)。若梁的各段弯矩方程不同，需分段建立。,材料力学,12,计算梁位移的积分法,每段梁都要积分两次，均出现两个积分常数，需通过边界条件和连续条件确定。,(1)边界条件（支承条件）,固定端：,铰支座（固定铰支座和可动铰支座）：,(2)连续条件,在两段梁的交界面：,=0，w=0。,w=0。,2.确定积分常数。,13,解题步骤,1.建立坐标系。取梁的最左端为坐标原点，x轴水平向右，w轴铅垂向上;,2.将梁分段（与画弯矩图分段相同），分别写出弯矩方程;,3.将弯矩方程代入挠曲轴近似微分方程，并积分两次;,4.根据边界条件和连续条件确定积分常数;,5.将要求位移的截面坐标代入转角方程和挠度方程，求该截面的转角和挠度。,计算梁位移的积分法,14,例求图示悬臂梁截面B的转角和挠度。,A,B,q,解：,EI,x,x,w,q,B,l,l-x,FS(x),M(x),计算梁位移的积分法,15,确定积分常数：,A,B,q,EI,x,x,w,l,计算梁位移的积分法,16,转角方程,挠度方程,A,B,q,EI,x,x,w,l,计算梁位移的积分法,17,例求图示外伸梁截面B的转角和截面C的挠度。,EI,A,B,C,F,x1,x2,x,w,FA=F/2,解：,l/2,l,计算梁位移的积分法,18,EI,A,B,C,F,x1,x2,x,w,l/2,l,计算梁位移的积分法,19,EI,A,B,C,F,x1,x2,x,w,l/2,l,计算梁位移的积分法,20,练习用积分法计算图示简支梁的A，B，wC。,EI,A,B,C,x,x,w,FA=ql/2,l/2,l/2,q,FB=ql/2,解：,计算梁位移的积分法,21,计算梁位移的积分法,EI,A,B,C,x,w,FA=ql/2,l/2,l/2,q,FB=ql/2,22,例用积分法计算图示各梁需分几段？确定积分常数的边界条件和连续条件是什么？,A,C,D,F2,x1,x3,w,B,F1,l/2,l/4,l/4,x2,x,q,q,A,B,C,x,x,w,l,EA,a,计算梁位移的积分法,EI,EI,23,练习用积分法计算图示各梁需分几段，确定积分常数的边界条件和连续条件是什么？,A,C,F,x3,w,B,l/2,l/2,x2,x,q,q,A,B,x1,x,w,l/2,x1,D,D,C,x2,x3,l/2,l/2,l,计算梁位移的积分法,24,7-5计算梁位移的叠加法,一、简单梁简单载荷下的变形,材料力学,25,计算梁位移的叠加法,26,二、叠加法计算梁的变形,=,+,=,=,+,+,计算梁位移的叠加法,27,三、几种基本变化,1.悬臂梁,(1)载荷在內侧，求端部位移,a,b,A,B,F,C,EI,wB,计算梁位移的叠加法,28,(2)载荷在外侧，求内侧位移,a,b,A,F,C,EI,wB,B,计算梁位移的叠加法,29,2.外伸梁,FS=F,M=Fa,F,计算梁位移的叠加法,wC,C,wC1,C1,wC2,C2,30,例求图示梁截面B、C的转角和挠度。,A,B,C,EI,l/2,l/2,q,解：,+,计算梁位移的叠加法,=,31,A,B,C,EI,l/2,l/2,q,+,计算梁位移的叠加法,B,q,A,C,=,32,FS=ql/2,M,A,计算梁位移的叠加法,B,C,EI,l/2,l/2,q,M=ql2/8,FS,33,解法二,计算梁位移的叠加法,A,B,C,EI,l/2,l/2,q,34,计算梁位移的叠加法,A,B,C,EI,l/2,l/2,q,35,例求图示梁截面A的转角和挠度。,A,B,C,D,F=ql,q,l/2,l/2,l/2,解：,EI,计算梁位移的叠加法,36,A,B,C,D,F=ql,q,l/2,l/2,l/2,EI,计算梁位移的叠加法,37,练习求图示阶梯形悬臂梁自由端的转角和挠度。,解：,A,2EI,a,a,B,F,EI,C,计算梁位移的叠加法,38,A,2EI,a,a,B,F,EI,C,计算梁位移的叠加法,39,练习求图示外伸梁自由端的转角和挠度。,解：,计算梁位移的叠加法,A,C,l,l/2,q,F=ql/2,EI,B,40,计算梁位移的叠加法,A,C,l,l/2,q,F=ql/2,EI,B,41,7-6简单静不定梁,计算梁的内力、应力和变形，首先要求出梁的约束力。静定梁的全部约束力均可用平衡方程求出，但静不定梁的约束力数多于平衡方程数，需通过变形条件增加补充方程方可求解。,FA,FB,MA,材料力学,42,材力,多余约束可以选择，无论去掉哪个多余约束，最终结果相同。,去掉多余约束支座B，将支座B的约束力视为载荷，静定梁AB在载荷F、FB作用下，B端的挠度为零。,A,C,EI,F,l/2,l/2,FA,MA,FB,B,FB,43,材力,FA,FB,MA,A,B,C,EI,F,l/2,l/2,44,材力,上述解静不定梁的方法称为变形比较法。具体解题步骤如下：,1.去掉多余约束，代之以相应的多余约束力。,2.根据多余约束处的变形关系建立补充方程。,3.解补充方程求出多余约束力。,4.将多余约束力视为主动力，将原静不定梁视为静定梁，然后按静定梁求解其他问题。,45,材力,例解图示静不定梁，并画弯矩图。,解：,去掉可动支座C，代以约束力FC。,A,B,2a,C,a,a,EI,F,46,材力,FC=-3F/32,A,B,C,F,FA=13F/32,47,材力,例求图示各梁的固端弯矩，设各梁的弯曲刚度均为EI。,A,B,C,D,F,a,2a,FC1,FC2,解：,将各梁从C处拆开，代以相应的约束力。,48,材力,A,B,C,D,F,a,2a,FC1,FC2,49,材力,练习求图示结构杆BC的内力。,B,C,A,EA,q,a,EI,l,解：,去掉BC杆，代以轴力FN。,50,7-7梁的刚度条件与合理刚度设计,一、梁的刚度条件,梁要正常工作，其应力要控制在一定的范围内，即满足强度条件；同时梁的变形也要控制在一定的范围内，即满足刚度条件。,例如，如果桥梁的挠度过大，车辆通过时就会发生很大的振动；如果机床主轴的的变形过大，将影响加工精度；传动轴在支座处的转角过大会损坏轴承，,材料力学,51,梁的刚度条件与合理刚度设计,梁的刚度条件为,其中和分别表示许用挠度和许用转角。,在各类工程设计中，因梁的用途不同，对其规定的许用位移值有很大的出入。在土建类工程中，通常给出许用的挠度与梁跨长之比w/l，即,52,二、提高梁的抗弯能力的主要措施,1.增大梁的弯曲刚度EI,因各种钢材的弹性模