数列的题目类型及方法总结

等比数列的前n项和(1),2009.9.29,复习:,等差数列求和方法回顾:(倒序相加),n个相同的数,国王赏麦的故事,，得,中间各数均为0,使用公式求和时，需注意对和的情况加以讨论,注意：,借助和式的代数特征进行恒等变形,当q=1时，,当q1时，,二.例题:,例1.求等比数列1/2,1/4,1/8,的前8项的和S8,答案:S8=255/256,例2.某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10，那么从第1年起约几年內可使总产量达到30万吨（保留到个位）？,解：根据题意，每年的产量组成一个等比数列an,n101.1=101.6n=101.6/101.10.20/0.0415答：约5年內可以使总产量达到30万吨。,则a1=5,q=1+10=1.1,Sn=30,5(1-1.1n)/(1-1.1)=301.1n=1.6,例3.求和:(x+)+(x2+)+(xn+)(x0,x1,y1),1,y,1,y2,1,yn,小结：,等比数列求和公式：,推导方法：,错位相消法,复习导入,1.等比数列的定义an+1:an=qan=a1qn1Sn=a1+a2+anSn-1=a1+a2+an-1an=SnSn-1,归纳要熟记公式：,或,练习.,2或-3,8或18,-6,185,知三求二,练习2.,等比数列前n项和公式的推导,(一)用等比定理推导,当q=1时Sn=na1,因为,所以,Sn=a1+a2+a3+.+an-1+an,=a1+a1q+a1q2+.+a1qn-2+a1qn-1,=a1+q(a1+a1q+.+a1qn-3+a1qn-2),=a1+qSn-1=a1+q(Snan),(三)从(二)继续发散开有,Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-2+a1qn-1(*),qSn=a1q+a1q2+a1q3+a1qn(*),两式相减有(1q)Sn=a1a1qn,思考题：1）求数列nxn-1的前n项和,即Sn=1+2x+3x2+nxn-1=?2）若数列an是等比数列,Sn是前n项的和，那么s3,s6-s3,s9-s6成等比数列吗？设kN*那么sk,s2k-sk,s3k-s2k成等比数列吗？,I、复习回顾,2、等比数列的通项公式,1、等比数列的定义式：,3、等比数列的性质,这些你都记得吗?,阳光国际高中部数学组2009.9.29,祝同学们国庆快乐！,2009.12.21,求数列通项的若干方法,结束,2009.12.21,求数列前n项和的方法,1.公式法：,等差数列的前n项和公式：等比数列的前n项和公式,例1：若实数a,b满足：求：,分析：通过观察，看出所求得数列实际上就是等比数列其首项为a，公比为ab，因此由题设求出a,b，再用等比数列前n项和公式求和,例2求和：1+(1/a)+(1/a2)+(1/an),、,例3.求下列数列的前n项和（1）,解（1）：该数列的通项公式为,（2）,例4、求和Sn=1+2x+3x2+nxn-1(x0,1),分析,这是一个等差数列n与一个等比数列xn-1的对应相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？,Sn=1+2x+3x2+nxn-1,xSn=x+2x2+(n-1)xn-1+nxn,(1-x)Sn=1+x+x2+xn-1-nxn,n项,这时等式的右边是一个等比数列的前n项和与一个式子的和，这样我们就可以化简求值。,错位相减法,例4、求和Sn=1+2x+3x2+nxn-1(x0,1),解：Sn=1+2x+3x2+nxn-1,xSn=x+2x2+(n-1)xn-1+nxn,-，得：(1-x)Sn=1+x+x2+xn-1-nxn,4.裂项相消法（或拆项法）：若数列的通项公式可拆分为某数列相邻两项之差的形式即：或（）则可用如下方法求前n项和.,例.设是公差不为零的等差数列，满足求它的前n项和,常见的拆项公式有：,分析：观察数列的前几项：,这时我们就能把数列的每一项裂成两项再求和，这种方法叫什么呢？,拆项相消法,评：裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。,分母为3的不可约分数之和为,典型例题,(1)已知an=,求Sn;,n(n+1)2,2n+1,(2)已知an=,求Sn;,(2n-1)(2n+1),(2n)2,Sn=(3n+2)2n-1,(4)Sn=1n+2(n-1)+3(n-2)+n1;,法1Sn=1n+2(n-1)+3(n-2)+nn-(n-1),=n(1+2+3+n)-21+32+n(n-1),=n(1+2+3+n)-12+22+(n-1)2-1+2+(n-1),法2Sn=1n+2(n-1)+3(n-2)+n1,=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+n),(5)Sn=3n-1+3n-22+3n-322+2n-1.,2.分组求和法()：若数列的通项可转化为的形式，且数列，可求出前n项和，则,规律概括：如果一个数列的通项可分成两项之和（或三项之和）则可