导数在研究函数中的运用.doc

精品文档导数在研究函数中的运用一、知识与方法1、函数的单调性：若函数在区间（）上单调递增，则，反之等号不成立；若函数在区间（）上单调递减，则，反之等号不成立。2、函数的极值：（1）定义：设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值。记作，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值。记作。极大值和极小值统称为极值。（2）求函数在某个区间上的极值的步骤：（i）求导数；（ii）求方程的根；（iii）检查在方程的根的左右的符号：“左正右负”在处取极大值；“左负右正”在处取极小值。特别提醒：（1）是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是0；0是为极值点的必要而不充分条件。（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！3、函数的最大值和最小值：（1）定义：函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。（2）求函数在上的最大值与最小值的步骤：（i）求函数在（）内的极值（极大值或极小值）；（ii）将的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。特别注意：（1）利用导数研究函数的最值（极值），且方程在给定的范围内有多个值时，要注意列表！（2）要善于应用函数的导数，考察函数单调性、最值(极值)，研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关问题。二、练习题1函数，当时，的单调性是 递增 2函数是减函数的区间为：D. . . .3.函数在上单调函数，则实数的取值范围_（答：）；4在上，恒成立是函数单调递增的_条件。(必要不充分)5. 函数，已知在时取得极值，则= DA. 2B. 3C. 4D. 56. 函数的极值点是 （答：C）；A、极大值点 B、极大值点 C、极小值点 D、极小值点7函数有极大值和极小值，则的取值范围是或8.函数在0，3上的最大值、最小值分别是_（答：5；-15）9.方程的实根的个数为_（答：1）；10.的导函数的图象如右图所示，则的图象最有可能的是（C） 11.已知函数的图象如右下图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是：C12. 若上是减函数，则b的取值范围是 CA B C D13. 函数在处有极小值10，求的值（答：7）14. 设和是函数的两个极值点. (1)求的值； (2)求的单调区间解：（1），由已知可得， 解得(2)由（1）知当时，； 当时，因此的单调增区间是 的单调减区间是15.已知函数，其中为实数.（1）已知函数在处取得极值，求的值；（2）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围.解：(1) .由于函数在处取得极值，所以有，即：.（2）由题设知：对任意都成立，即对任意都成立。于是对任意都成立，即.从而实数x的取值范围为：.16. 已知函数 （1）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值； （2）若函数在区间上不单调，求的取值范围解析：（1）由题意得 又 ，解得，或 （2）函数在区间不单调，等价于 导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有 ， 即： 整理得：，解得17设函数 （1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围 解：(1) , 因为, 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值