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张老师工作室 第1讲 梅涅劳斯定理 塞瓦定理知识点一、梅涅劳斯定理梅涅劳斯定理 如果一条直线与的三边、或其延长线交于、点，那么这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形证明如图1-1，若一直线与的三边、或其延长线交于、点求证： 证法一：如图1-2，过作，证法二：如图1-3，过作交的延长线于，三式相乘即得： 梅涅劳斯定理的逆定理 若、分别是的三边、或其延长线的三点，如果 ，则、三点共线知识点二、塞瓦定理塞瓦定理 如果的三个顶点与一点的连线、交对边或其延长线于、，如图1-4，那么通常称点为的塞瓦点证明直线、分别是、的梅氏线， ，两式相乘即可得：塞瓦定理的逆定理 如果点、分别在的边、上或其延长线上，并且，那么、相交于一点（或平行）证明 若与相交于一点时，如图1-5，作直线交于由塞瓦定理得：，又已知，与重合与重合、相交于一点 若与所在直线不相交，则，如图1-6，又已知，即，【例 1】 已知中，为中线，过点任作一直线交于，交于，如图1-7，求证：.【分析】直线FEC是的梅氏线， 而，即 【例 2】 （2003年深圳市中考题）如图1-8，直线，则是 （ ）A5：2 B4：1 C2：1 D3：2 【分析】截的三边、或其延长线于、三点，即【例 3】 如图1-9，中，为中点，求证：【分析】直线是的梅氏线，直线是的梅氏线，【例 4】 如图1-10-1，中，交于求 【分析】过作交于，交于，如图1-10-2可得：，且直线是的梅氏线，【例 5】如图1-11，平行四边形的对角线相交于点，在的延长线上任取一点，连接交于点 若，求的长【分析】截的三边、或其延长线于、三点在平行四边形中，即，即，【例 6】 如图1-12，、分别为的、边上的点，且，、交于，的延长线交于求的值【分析】为的塞瓦点，为的梅氏线，【例 7】 在梯形中，、交于，、的延长线交于，过作交于，交于，求证：、三线共点【分析】设直线交于，由已知可得，由为的塞瓦点可得：同理可得：，、三线共点【例 8】 已知：、为的高。求证：直线、三线共点若上述一点叫，当点在线段内上下移动时，过点的线段、也随之运动.求证：上述运动过程中与总相等【分析】 由，得，同理，三式相乘得，、三高所在直线共点 如图1-14-2，过作交、延长线于、是的塞瓦点，= 1. 如图，已知：，求证： 【分析】是的梅氏线，又 2. 如图，中，为的中点，求 【分析】是的梅氏线，为的中点，是的梅氏线， 3. 经过的重心的直线交、分别于、，交的延长线于求证： 【分析】作直线交于，同理，而 4. 如果梯形的两腰、的延长线交于，两条对角线交于求证：直线必平分两底【分析】 （由塞瓦定理得），
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